Bevis for den naturlige logaritme.

#0: Prøv at bruge din forklaring i din bog og skriv den ind, som du forstår den. Så prøver vi at se, hvor kæden hopper af.

   logaritmen til et produkt er lig med summen af faktorernes logaritme

   logaritmen til en brøk er lig med differencen mellem tællers logaritme og nævners logaritme

Koden, du skal anvende, er, at e^ er den modsatte operation af ln, lige som 10^ er det omvendte af Log, √ er det omvendte af ^2 og cos^-1 er det omvendte af cos osv.
Alt så e^ ophæver ln, 10^ ophæver log, √ ophæver ^2 og cos^-1 ophæver cos - og omvendt

Bevis for ln(a · b) = ln(a) + ln(b) for a og b positive.

Vi betragter funktionen H(x) =  ln(b · x for) for x > 0
Dette er en sammensat funktion hvor differentialkvotienten er

H'(x) = (1 / b · x) · b = 1/x                         <----- her er jeg ikke helt med på hvorfor der ganges med b.

H er altså ligesom Ln stamfunktion til 1/x i intervallet R₊. Vi ved i følge 38.3* at der findes en konstant c så:

H(x) = ln(x) + c      <-->   ln(b · x) = ln(x) + c

Ved at indsætte x = 1 kan vi finde konstanten c:

ln(b · 1) = ln(1) + c    <--->   c = ln(b)       <------- Hvorfor forsvandt b og kom frem igen?

Derfor er vores funktion altså ln(b · x) = ln(x) + ln(b) Ved indsættelse af x = a og ombytning af faktorerne i parentesen får vi ln(a · b) = ln(a) + ln(b) .
Sætningen er bevist!

Hvis du kan hjælpe mig, bliver jeg bare så glad, for jeg skal op og fremlægge det imorgen (og muligvis til eksamen i det).

Hilsner Katrine

* 38.3: Hvis funktionerne G oh H er defineret i det samme interval I, og begge er stamfunktioner til f, da findes et tal c, så H(x) = G(x) + c for alle x der indegår i I.

 Dit første spørgsmål:

Der ganges med b fordi det er den afledte af den indre funktion, i den sammensatte funktion ln ( bx ).

H(x) = ln ( b x)

Kalder vi t = bx , så kan H skrives H(t) , skal den differentieres skal H differentieres mht t og ganges med t ' mht x:

H'(t) = 1/t * t' = 1 / (b x) * b

Dit andet spørgsmål:

Det er klart at ln(1 * b ) = ln(b) ... 

ln(1) er 0 .. e^0=1 .. derfor er c plus ln(1) lig c.

Sådan bliver siderne i det første udtryk, til siderne i det andet. Jeg ved ikke hvorfor de har valgt at skifte rækkefølgen - ganske upædagogisk ..

Derudover er det vel strengt taget kun bevist for x = 1 .. Et skidt bevis efter min mening, men det skal du nok ikke sige ..

Især fordi der er et mere intuitivt efter min mening (selvom det muligvis ikke gælder matematisk, fordi det måske egentligt bygger på sig selv, så hjælper det dig mpske med at forstå det.)

Ud fra defintionen af ln er

a*b = (e^ln a) * (e^ln b)

men der må ligeledes gælde ud fra defintionen at

a*b = e^ln(a*b)

ser vi på et x og potenserne y og z, er de i hvert fald for hele y og z indlysende at der må gælde:

x^y *x^z x^(y+z)

Vi prøver fx med y=2 og z=3

x^2 * x^3 = x*x   *   x*x*x = x^5

dvs. a*b = e^ln a * e ^ln b = e^(ln a + ln b ) = e ^ln(a * b)

sammenlignes de to sidste udtryk ses at det ønskede gælder ...

problemet er at det ikke er intuitivt at x^y * x ^z = x^(y+z) hvis z og y ikke er hele. Beviset på det bygger sgu nok på det du prøver at bevise .. Men det gør det nemt at huske

Der gælder for et tal x 

Det ser ud til, at din bog kører lidt mere historietro end de fleste andre - logaritmefunktionerne kom før eksponentialfunktionerne - så derfor var mit første tip ikke meget værd for dig.

Ln er nok i din bog defineret som den funktion, der har f '(x) = 1/x og går gennem (1,0) (den sidste betingelse gælder for alle logaritmefunktioner).

Dermed bliver H'(x) = ln'(b·x)· b= b· ln'(b·x) = b/(b·x) = 1/x, som #5 skriver

Såvel ln som H er altså stamfunktion til 1/x (da begges afledede er 1/x) og dermed er forskellen en konstant. Så har du
 H(x) = ln(x) + c
for alle x - og specielt for x = a og x=1, som kan fortælle dig noget om c.

x = 1: H(1) = ln(1) + c ⇔ ln(b·1) + c = ln(1) + c ⇔ ln(b) + c = 0 + c ⇔ ln(b) = c

x = a: H(a) = ln(a) + c ⇔ ln(b·a) = ln(a) + ln(b)  ⇔ ln(a·b) = ln(a) + ln(b) ( da b·a = a·b)

Hej allesammen! Tusind tak for gode svar! :) Jeg tror jeg har styr på det nu.

Hilsner fra Katrine! :D