vanskelig opgave

Du skal bruge Cauchys residue sætning. Det betyder at du skal finde 0 punkter for nævneren x⁴+1 og derefter foretage en integration i den positive omløbsretning  af en lukket kurve der som den ene kurve(her linie) har x-aksen og den resterende er en halvcirkel med radius R. Du kan se en god skabelon for det i  eks 7.7 nederst side 132

hm. jeg tror ikke at jeg har gjort det rigtig, fordi jeg får noget, der er nonsens. Jeg vil meget gerne se din udregning.Det vil kunne hjælpe mig.

På forhånd tak.

Jeg har ikke foretaget nogle udregninger, kun set på hvordan du skal regne opgaven. Kan du ikke i stedet ligge ind, hvad du har lavet.

Jeg kan som sagt ikke løse opgaven. Jeg vil bare gerne se løsningen på den. Det er det eneste jeg spørger om. Jeg kan ikke bruge en løsnings-"skitse" til noget, fordi så sker der bare misforståelser ligesom sidst.

#0 Lidt hurtigt regnet

Lad γ være halvcirklen i den øvre halvplan, dvs. γ=[-R,R]∪γ(R), hvor γ(R)={Re^it|t∈[0,π]}. Sæt f(z)=1/(1+z⁴).

Da 1+z⁴=(z+a)(z+a³)(z+a⁵)(z+a⁷), hvor a=e^iπ/4, er f meromorf med poler a^k, k=1,3,5,7. Man udregner let at

Res(f,a^k)=-(1/4)a^k. Residuesætningen giver således at

(*) ∫_γ f(z)dz=2πi(Res(f,a)+Res(f,a³))=...=π/√2 [Lav selv mellemregningerne]

Desuden haves

(**) ∫_γ f(z)dz=∫_-R^Rdx/(1+x⁴)+∫_γ(R)dz/(1+z⁴)=∫_-R^Rdx/(1+x⁴)+∫₀^π(iRe^it)/(1+R⁴e^4it)dt

Idet |z⁴+1|≥|z|⁴-1 er

|∫_γ(R)dz/(1+z⁴)|≤(max_t∈[0,π]|1/(1+R⁴e^4it)|)πR≤πR/(R⁴-1)→0 for R→∝

Kombineres (*) og (**) med dette haves således at

∫_-∝^∝dx/(1+x4)=π/√2 som ønsket ^_^

 #5 Tusind TAK ! :-)

-

Hvad med det andet integral i opgaven ?

 hvordan beregner du Res(f,a^k) ?

Når jeg regner (*) får jeg noget der er nonsens. Måske har jeg regnet forkert, men hvordan gøres det ? 

#9 man bruger f/g'-metoden beskrevet i 2^o på side 129

#10 Da a+a³=a-a^-1=2isin(π/4)=2i/√2 er 2πi(Res(f,a)+Res(f,a³))=2πi(-a/4-a³/4)=2πi(-1/4)2i/√2=π/√2

 hvad med det andet integral i opgaven..

#12 Det andet integral kan bestemmes på samme måde ved at udvidde x/(1+x⁴) til en lige funktion .... såvidt jeg husker er der vist en smartere metode ... måske Fouirer kan hjælpe?

Metoden er det samme som i den første; men her er kurven du skal bruge en ret linje, der går fra z=0 til z = R, En kvart cirkelbue med radius R, centrum 0 og som går fra R til R*i samt en ret linje på den imaginære akse, der går fra R*i til 0.

Her er en anden metode. substituerer man u = x², du = 2xdx får man ∫₀^oof(x)dx = ½∫₀^oo 1/(1+u²)du = ∫_-oo^oo1/(1+x²)dx/4. På det sidste integral kam man så bruge den samme metode og integrere langs samme kurve som i den foregående.