Differentation af potensfunktion uden hjælpemidler

Uh mener selvfølgelig rødder inden i brøker, da roden af x bliver til (1)/2*roden af x som f-mærke ik? 

 du bruger kædereglen, selvom du også bare kan gange x^0,5 ind i parentesen er jeg ret sikker på det er en øvelse i kæde regelen. Så brug den, slå den op.

 Du skal ikke bruge kædereglen,

enten ganger du ind og får:

f = -2 x^3/2 + 7x^½

som blot differentieres led for led, og hvor du genkender formen xⁿ

Eller også bruger du produktreglen, og ser at der må gælde

f ' = (x^½)' * (-2x+7) + x^½ * (-2x+7)'

Hvor du igen skal differentiere en simpel funktion af gangen

Kædereglen er for ting der ligner (-2x+7)^½

Hej MarsDK

Tusind tak for det :-) Vil du med udgangspunkt i produktreglen vise, hvordan du gør videre? x^0,5 driller mig når jeg skal differentiere den..

I følge min cas skulle løsningen på hele opgaven blive (-(6x-7))/(2*roden af x)?

<p>&nbsp;Nej #2 det er desv&aelig;rre ikke korrekt. Det drejer sig om et produkt af 2 funktioner - s&aring; produktreglen for differentiation skal bruges.</p> <p>&lt;equation&gt; (f \cdot g)(x) = f '(x)g(x) + f(x)g'(x) &lt;/equation&gt;, &nbsp;hvor &lt;math&gt; f(x) = x^{0.5} &lt;/math&gt; og &lt;math&gt; g(x) = -2x+7&lt;/math&gt;.&nbsp;</p> <p>Nu til potenserne. Hvis &lt;math&gt; p &lt;/math&gt; og &lt;math&gt; q &lt;/math&gt; er hele tal og &lt;math&gt; q &lt;/math&gt; er forskellig fra &lt;math&gt; 0 &lt;/math&gt;, s&aring; g&aelig;lder for et vilk&aring;rligt reelt tal &lt;math&gt; x &lt;/math&gt; forskelligt fra &lt;math&gt; 0 &lt;/math&gt;</p> <p>&lt;equation&gt; x^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{x^p} &lt;/equation&gt;</p> <p>f.eks.</p> <p>&lt;equation&gt;x^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{x} &lt;/equation&gt;</p> <p>&lt;equation&gt; x^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{x^2} &lt;/equation&gt;</p> <p>&lt;equation&gt; x^{0.5} = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x} &lt;/equation&gt;</p> <p>Du differentierer en potensfunktion ved at gange funktionen opl&oslash;ftet til potensen &lt;math&gt; -1 &lt;/math&gt; med potensen. Alts&aring; &lt;math&gt; x^\frac{p}{q} = \frac{p}{q}\cdot{x^{\frac{p}{q}-1}} &lt;/math&gt;. F&aring;r du et negativt tal, som potens efter du har trukket &lt;math&gt; 1 &lt;/math&gt; fra, betyder det blot at du skal tage den reciprokke v&aelig;rdi - &lt;math&gt; 1 &lt;/math&gt; divideret med udtrykket - &nbsp;F.eks. &nbsp;er &lt;math&gt;&nbsp;x^{-\,\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{x}} &lt;/math&gt;.</p> <p>S&aring; er du n&aelig;sten hjemme. Da &nbsp;&lt;math&gt; f(x) = &nbsp;x^0.5 = x^{\frac{1}{2}} &lt;/math&gt;, s&aring; er &lt;math&gt; f '(x) =&nbsp;\frac{1}{2}\,x^{\frac{1}{2}-1} &lt;/math&gt; og da &lt;math&gt; g(x) = -\,2x+7 &lt;/math&gt; er&nbsp;&lt;math&gt; g'(x) = -\,2 &lt;/math&gt; dvs. du f&aring;r</p> <p>&lt;equation&gt; &nbsp;(f \cdot g)(x) = f '(x)g(x) + f(x)g'(x) =&nbsp;\frac{1}{2}\,x^{\frac{1}{2}-1} \cdot{-\,2x+7} + x^{\frac{1}{2}}\cdot{(-\,2)} =&nbsp;\frac{1}{2}\,\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot{-\,2x+7} + \sqrt{x}\cdot{(-\,2)} = \frac{7-6x}{2\sqrt{x}}&nbsp;&lt;/equation&gt;</p> <p>En anden metode er at bruge potensregnereglene. Nu lidt hurtigt.&lt;equation&gt; &nbsp;h(x) = x^{\frac{1}{2}}(-2x+7) = -2x^{\frac{3}{2}}+7x^{\frac{1}{2}}&lt;/equation&gt;&nbsp;</p> <p>&lt;equation&gt; h'(x) = -2\cdot\frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1}+7x^{\frac{1}{2}} = -3\sqrt{x} + \frac{7}{2\sqrt{x}}&lt;/equation&gt;</p> <p>hvilket giver samme resultat som f&oslash;r, n&aring;r der stilles p&aring; f&aelig;lles br&oslash;kstreg. H&aring;ber det opklarede dine vanskeligheder.<br /> <br /> &nbsp;</p>

 Det må du undskylde. Det ser ikke ud til portalen formaterer i Latex.

Nej #2 det er desværre ikke korrekt. Det drejer sig om et produkt af 2 funktioner - så produktreglen for differentiation skal bruges.
(f g)(x) = f '(x)g(x) + f(x)g'(x) , hvor f(x) = x^{0.5} og g(x) = -2x+7.
Nu til potenserne. Hvis p og q er hele tal og q er forskellig fra 0, så gælder for et vilkårligt reelt tal x forskelligt fra 0
x^(p/q) = den q'te rod af x^p
f.eks. er x^0.5 = x^(1/2) = √x
Du differentierer en potensfunktion ved at gange funktionen opløftet til potensen -1 med potensen. Altså x^(p/q) = (p/q)x^({p/q}-1}). Får du et negativt tal, som potens efter du har trukket 1 fra, betyder det blot at du skal tage den reciprokke værdi - 1 divideret med udtrykket - F.eks. er x^(-1/2) = 1/√x.
Så er du næsten hjemme. Da  f(x) = x^0.5 = x^(1/2), så er f '(x) = (1/2) x^(-1/2) og da g(x) = -2x+7 er g'(x) = -2, dvs. du får

(f g)(x) = f '(x)g(x) + f(x)g'(x) = (1/2)x^{(1/2)-1}{-2x+7} + x^{1/2}(-2) = (1/2)(1/√x) + (-2)√x = {7-6x}/{2√x}

En anden metode er at bruge potensregnereglene. Nu lidt hurtigt. h(x) = x^{1/2}(-2x+7) = -2x^{3/2}+7x^{1/2} dvs. h'(x) = -2(3/2)x^{(3/2)-1}+7x^(1/2) = -3√x + 7/(2√x)
hvilket giver samme resultat som før, når der stilles på fælles brøkstreg. Håber det opklarede dine vanskeligheder.??

 Indtastningsfejl: dvs. h'(x) = -2(3/2)x^{(3/2)-1}+7x^(1/2) = -3√x + 7/(2√x) skal naturligvis være

dvs. h'(x) = -2(3/2)x^{(3/2)-1}+7x^({1/2} -1) = -3√x + 7/(2√x) og så får det korrekte resultat

h'(x) = -2(3/2)x^{(3/2)-1}+7x^({1/2} -1) = -2(3/2)x^{(3/2)-1}+7x^(-{1/2}) = -3√x + 7/(2√x)

Hej Jan

Tusind tak for din hjælp.

Jeg tror jeg er med på det meste.. Bortset fra i linje 14.. Hvordan bliver (1/2)x^{(1/2)-1}{-2x+7} til (1/2)(1/√x) og til sidst til {7-6x} ? Anden halvdel af resultatet er jeg med på :-)

Der skal ganges ind i parentesen ik? Med hvad skal der ellers gøres, og i hvilken rækkefølge? Jeg kludrer rundt i det, når jeg skal regne den del i hånden.

På forhånd tak for hjælpen :-)

Hej Mette. Tak for dit søde svar og mange gange undskyld, at du med god grund er blevet forvirret. Det skyldes at en del af ligningen gik tabt, da jeg copied and pasted fra den gamle volapyk-fil over til den læselige fil, og du roder aldeles ikke rundt i det, for udregningen, som den står, er direkte forkert.

Linje 14 burde have været.

(f·g)'(x) = f '(x)·g(x) + f(x)·g'(x)  

Ligningens første led   f '(x)·g(x)   =  (1/2)·x^(1/2 - 1)·(-2·x + 7) = (1/2)·x^(-1/2)·(-2·x + 7) altså en halv gange x opløftet til minus en halvte potens gange med parantesen (-2x plus 7). 

Da (1/2)·x^(-1/2) = (1/2)·(1/√x) = 1/(2·√x)  er forrige linje  (1/2)·x^(-1/2)·(-2·x +7)= 1/(2·√x)·(-2x + 7) = (-2x + 7)/(2·√x), dvs. parantesen minus 2x plus 7 divideret med 2 gange kvadratroden af x

Sådan skulle der have stået.  (Mange mange gange yndskyld!)

Ligningens andet led  f(x)·g'(x) = x^(1/2)·(-2) = (-2)·x^(1/2) = (-2)·√x

Lægges de to led sammen fås (f·g)'(x) = f '(x)·g(x) + f(x)·g'(x) = (-2x + 7)/(2·√x) + (-2)·√x

Nu sætter du på fælles brøkstreg 

(-2x + 7)/(2·√x) + (-2)·√x = (-2x + 7)/(2·√x) + (-2)·√x·((2·√x)/(2·√x)) = (-2x +7 -4·(√x·√x))/(2·√x) = (-2x + 7 -4x)/(2·√x)

Sidste resultat , fordi √x·√x = (√x)^2 = x

 Endeligt fås det autoriserede Nielsen resultat  (f·g)'(x) = (7 - 6x)/(2·√x)

eller lidt enklere

f(x) = x^0,5 (-2x+7)

     f '(x) = (1/2)·x^1/2-1·(-2x+7) + x^1/2·(-2)

     f '(x) = (1/2)·x^-1/2·(-2x+7) - 2x^1/2

     f '(x) = -x^1/2 + (7/2)·x^-1/2 - 2x^1/2

     f '(x) = -3x^1/2 + (7/2)·x^-1/2

#10 Jøps du har naturligvis ret - men den øvelse har vi allerede været igennem. Se #6 og #7, som skal læses

En anden metode er at bruge potensregnereglene. Nu lidt hurtigt.

hvilket giver samme resultat som før, når der stilles på fælles
brøkstreg.

(Meeeen.....) Det som Mette konkret spurgte om i #4 var, hvordan man kunne udregne differentialkvotienten
med udgangspunkt i produktreglen!!!

...og det var præcis, hvad der skete i #10 i kortform
 

Tak for det. Dejligt at være omgivet af kloge mennesker her. God dag til jer begge :-) 

 #6 Jeg tror godt, man kan skrive latex på studieportalen. Der må være en fejl et sted.