x^n regneregl for integration

Det er nemmest at bevise at der gælder for differentialkvotiente  af (xⁿ) og dernæst bruge sammenhængen mellem at differentiere og integrere. Dette kan så bevises ved induktion. og brug af differentialkoeficienten for et produkt. Antag at den gælder for op til n. så har du

(xⁿ⁺¹)' = (x*xⁿ)' = (x)'*xⁿ +x*(xⁿ)' = 1*xⁿ+x (n*x^n-1) = (n+1)xⁿ

Du mangler gevaldigt parenteser og et integraltegn - det, du skriver, passer ikke..

Du kan tænke på Integration som det modsatte af Differentiation.

Når du differentierer xⁿ skal du gange med eksponenten og trække 1 fra eksponenten, (xⁿ)' = n·x^n-1 (jf #1)

Når du integrerer skal du så gøre det omvendte dividere med eksponenten og lægge 1 til eksponenten.
Du viser så, der er rigtigt ved integrationsprøven (altså differentiere højresiden og se, at du får det, der står under integraltegnet)

∫ xⁿ dx =1/(n+1)·xⁿ⁺¹+k 
(1/(n+1)·xⁿ⁺¹+k)' = 1/(n+1)·(n+1)·x^n+1-1 = xⁿ, så pengene passer

altså, når man differentiere 1/(n+1)*x^n+1 får man så 1/(n+1)*(n+1)*x^n+1-1 ??

Eller jeg forstår godt, at du differentiere højresiden, og så ser man at det bare giver x^n, men jeg tror ikke lige jeg forstår din mellemregning (:

konstanten k giver 0, når den differentieres

(xⁿ⁺¹)' = (n+1)x^n+1-1 = (n+1)xⁿ, så når du ganger funktionen med konstanten 1/(n+1) får du:
(1/(n+1)·xⁿ⁺¹)' = 1/(n+1)·(n+1)·xⁿ = xⁿ , idet 1/(n+1) og ·(n+1)  ophæver hinanden og giver 1

mellemregning i oversigt
se

nu forstår jeg det :)

men der er lige en ting jeg undre mig over :)

Når du ganger med konstanten 1/(n+1) ændre du den slet ikke, når du så differentiere i næste linje.

Er det fordi du bruger den regel om, at man kan differentiere funktionen, og lade konstanten stå?

Ja

         (k·f(x)) ' = k·f '(x)

Okay :) så havde jeg da forstået det :)