Integral + Differentiation (Hyperbolske funktioner)

a) brug at 1+sinh²(x) = cosh²(x)

b) Generelt gælder at formler for de hyperbolske funktioner er meget lig de trigonometriske. Det er som regel kun nogle fortegn, der skiller som i formlen ovenfor. Har du ikke nogen formler for dem?

Jeg har nu brugt 1-2 timer forgæves på de to opgaver. Derfor ville jeg sætte pris på hvis du kunne vise mig udregningerne. Med hensyn til delopgave b, så kender vi jo, at tanh ( x ) = sinh ( x ) / cosh ( x ).

b)

Lad f(x) = ln(cosh(x)) - (1/2)·tanh²(x) . Da fås

f'(x) = (1/cosh(x))·sinh(x) - tanh(x)·(tanh(x))'

       = tanh(x) - tanh(x)·(sinh(x)/cosh(x))'

       = tanh(x) - tanh(x)·(cosh(x)·cosh(x)-sinh(x)·sinh(x))/cosh²(x)

       = tanh(x) - tanh(x)/cosh²(x)

       = tanh(x)(cosh²(x)-1)/cosh²(x)

       = tanh(x)·sinh²(x)/cosh²(x)

       = tanh³(x)

Hej Andersen 11.

Tak for hjælpen, men jeg forstår ikke lige helt hvad du har lavet i tredje sidste linie. Du sætter tanh(x) i tælleren, og hvad er så næste trin?

a)

Benyt her, at cosh²(x) - sinh²(x) = 1

_-18∫¹⁸ √(1 + sinh²(x/75)) dx

     = _-18∫¹⁸ √(cosh²(x/75)) dx

     = _-18∫¹⁸ |cosh(x/75)| dx

     = 2·₀∫¹⁸ cosh(x/75) dx

     = 2·75·[sinh(x/75)]¹⁸₀

     = 150·cosh(18/75)

#4

Vi har

tanh(x) - tanh(x)/cosh²(x) = tanh(x)·(1 - 1/cosh²(x)) = tanh(x)·(cosh²(x)-1)/cosh²(x)

     = tanh(x)·sinh²(x)/cosh²(x) = tanh³(x)

Benyt, at   cosh²(x) - sinh²(x) = 1, så   cosh²(x) - 1 = sinh²(x)

Det er første trin i #6 jeg ikke helt forstår. Sætter du tanh(x) i fælles brøkstreg, eller?

#7

Jeg sætter tanh(x) uden for en parentes. Inde i parentesen står der så 1 - 1/cosh²(x) der så sættes på fælles brøkstreg. Det er helt elementære beregninger.

Ja, har først lige gennemskuet det. Hvad med det næste trin? Hvordan kan (1-1), altså tælleren skrives om til cosh^2(x)-1?

Det er 1 - (1/cosh²(x)) ; men parentesen her er ikke strengt nødvendig, da det med gældende parentesregler ikke kan fortolkes som (1-1)/cosh²(x). Brug dernæst den vigtige formel for de hyperbolske funktioner

cosh²(x) - sinh²(x) = 1

som jeg har brugt flere steder i udledningen.

Er det ikke sådan her, du har gjort?

Hvis vi fortsætter fra tanh(x) - tanh(x)/cosh^2(x)

= (tanh(x) * cosh^2(x) - tanh(x))/cosh^2(x)

= tanh(x) * ((1 * cosh^2(x) - 1)/cosh^2(x))

= tanh(x) * ((cosh^2(x) - 1/cosh^2(x))

= tanh(x) * (sinh^2(x)/cosh^2(x))

= tanh^3(x)

#11

Jo, det er jo netop det, jeg skrev i #3 og #6.

Super.

Jeg har et spørgsmål mere, hvis du kan overkomme det.

Det drejer sig om #5 trin 3. Når kvadratrodstegnet og eksponenten går ud med hinanden, hvorfor kommer der klammer omkring udtrykket, der signalerer numerisk værdi? Derudover forstår jeg heller ikke, hvad der sker i de efterfølgende trin.

#13

Det er heller ikke strengt nødvendigt, da cosh(x) > 0. Det var for at signalere, at √(y²) = |y| . Dernæst benytter jeg, at cosh(x) er en lige funktion, cosh(x) = cosh(-x), så integralet fra -18 til 18 er lig med 2 gange integralet fra 0 til 18 . Endelig benyttes, at en stamfunktion til cosh(ax) er (1/a)·sinh(ax) , hvor her a = 1/75 . Jeg lavede dog en fejl i min sidste linie i #5. Det skal være

2·75·[sinh(x/75)]¹⁸₀ = 150·sinh(18/75)

Ja, nu forstår jeg fremgangsmåden, men cosh(x) behøver nødvendigvis ikke at være defineret fra 0 og op efter. Man kan også benytte negative x-værdier og stadig finde en tilsvarende y-værdi af funktion cosh(x) eller tager jeg fejl? Derfor ville jeg sætte grænserne fra -18 til og med 18, men svaret giver dog ikke det samme. Hvor går det galt?

#15

Jo, jeg syntes bare det var lettere at udnytte, at funktionen er lige. Man kunne også skrive

_-18∫¹⁸ |cosh(x/75)| dx = _-18∫¹⁸ cosh(x/75) dx = 75·[sinh(x/75)]¹⁸_-18 = 75·(sinh(18/75) - sinh(-18/75))

    = 75·(sinh(18/75) + sinh(18/75)) = 2·75·sinh(18/75) = 150·sinh(18/75)

Her benyttes så, at sinh() er en ulige funktion, altså at sinh(-x) = -sinh(x) .

Super.

Når man differentierer cosh(x/75), giver det ikke sinh(x/75) * 1/75?

#17 -- Jo, det gør det.

Hvordan kan det så være at du skriver * 75, istedet for * 1/75?

#19

Jeg differentierer jo ikke, jeg integrerer. Som jeg skrev i #14 er ∫cosh(ax) dx = (1/a)·sinh(ax) med a = 1/75 .