Komplekst polynomium som produkt af andengradsligninger

P(z) = z^4 + 1  =  (z² - i) (z² + i)

Hvis man ikke kendte resultatet til at begynde med, er der så ikke en fremgangsmåde til at løse det på?

Joh da. Brug 3. kvadratsætning.

#1

De to 2.-gradspolynomier har jo ikke reelle koefficienter, således som opgaven ønsker det. I stedet finder man

P(z) = z⁴ + 1 = (z² +(√2)z +1)·(z² -(√2)z +1)

Faktoriseringen i #1 er en korrekt faktorisering af polynomiet; men faktorpolynomierne har ikke reelle koefficienter. Vi kan fortsætte faktoriseringen yderligere

P(z) = z⁴ + 1 = (z² -i)(z² +i)

       = (z - e^iπ/4) (z - e^i5π/4) (z - e^i3π/4) (z - e^i7π/4)

       = (z - e^iπ/4) (z - e^i7π/4) (z - e^i5π/4) (z - e^i3π/4)

Her er e^iπ/4 og e^7iπ/4 komplekst konjugerede til hinanden, og e^i5π/4 og e^i3π/4 er komplekst konjugerede til hinanden, så vi får

e^iπ/4 + e^7iπ/4 = 2·cos(π/4) = √2 , e^iπ/4·e^7iπ/4 = 1 og

e^5iπ/4 + e^3iπ/4 = 2·cos(3π/4) = -√2 , e^5iπ/4·e^3iπ/4 = 1 .

Dermed fås

P(z) = (z² +(√2)z +1)·(z² -(√2)z +1)

Din faktorisering af #1 hvor får du e opløftet i (i5),(i3),(i7) fra? 

6#

Det er vinklerne som de ikke-reelle rødder for P(z) danner .

#6

De fås ved løsning af ligningerne z² -i = 0 og z² +i = 0 .

Løses z² = i = e^iπ/2 , kan vi skrive z = re^iφ og dermed z² = r²e^i2φ = e^iπ/2 = e^i5π/2 , så der skal gælde r = 1 og

2φ = π/2 eller 2φ = 5π/2 , dvs z = e^iπ/4 eller z = e^i5π/4 . Tilsvarende findes rødderne i z² = -i .