differentiabel funktion

Der er ikke nogen entydig løsning, men da f'(x) skal være 0 i de tre x-værdier x=3, x=5, og x=8, er det nærliggende for f'(x)at prøve med et polynomium

f'(x) = a(x-3)(x-5)(x-8) .

Den funktion skifter imidlertid fortegn mellem nulpunkterne, og da f skal være voksende i hele intervallet [3;10[ , er vi nødt til at fikse det lidt ved at gøre x=5 og x=8 til dobbeltrødder for f'(x) :

f'(x) = a(x-3)(x-5)²(x-8)² , hvor a > 0 .

Ganger vi ud, fås

f'(x) = a(x⁵  -29x⁴ +327x³ -1787x² +4720x -4800)

Heraf fås så en stamfunktion

f(x) = a((1/6)x⁶ -(29/5)x⁵ +(327/4)x⁴ -(1787/3)x³ +2360x² -4800x) + k

Funktionen har minimum for x=3 med værdien

f(3) = -3909,15a + k

Desuden er

f(2) = -3792,27a + k og f(10) = -3500a + k

Vi kan da bestemme a og k så f(10) = 8 og f(3) = -3.

Vi opnår dog kun at værdimængden er [-3 ; 8[ , ikke [-3 ; 8] , da definitionsmængden er det åbne interval ]2 ; 10[.

ja okay, det forstår jeg noget af :)

men der er noget i starten som jeg ikke har fanget.. hvordan laver du lige de tre x-værdier negative og hvorfor?

det er meningen jeg skal kunne løse opgaven uden hjælpemidler... det tror jeg måske ikke helt jeg kan følge med til i trin 4 og 5

#2

Jeg laver et polynomium (for f'(x)) der har x=3, x=5, og x=8 som rødder, da f'(x) skal være 0 her. Byggedelene til det er de små polynomier (x-3), (x-5), og (x-8) . Polynomiet (x-3) er = 0 for x=3 . Ganger man dem sammen får man noget, der er 0 for de 3 x-værdier. Det kompliceres så lidt af, at den færdige funktion skal være voksende både i [3;5], i [5;8] og i [8;10[ . Prøv lige at tjekke efter i opgaven, at f(x) ikke skal være aftagende i stedet i [5;8], for så bliver det hele lidt simplere.

Nej den skal desværre være voksende i intervallet [5;8] :(

Men tusind tak for hjælpen. Jeg laver bare så meget af det jeg forstår og så må min lærer jo forklare mig resten...

tak :D

Der er noget galt med Dm kontra Vm.

Eftersom f ' (x) fortæller, at f(x) kommer oppefra, har minimum for x=3 og
 

derefter er stigende lige med undtagelse af "hvilepunkterne" for x = 5 og 8,

og desuden er differentiabel (og dermed kontinuert) i et ÅBENT interval, kan
 

det ikke passe, at værdimængden udgør et LUKKET interval. Godtnok har

f(x) et minimum, men maksimum ligger i højre "endepunkt", og hvis det skal

være en eksakt værdi (på en stigende graf), så kræver det også et eksakt

endepunkt på Dm.

Prøv lige at tjekke ] og [

#5

Det er også noget, jeg gør opmærksom på i #1.

@ # 6

Jeg har noteret mig at dit skarpe blik ser alt, men jeg fiskede for at få opgavestilleren til at undersøge,

om de kantede parenteser nu også vendte rigtigt, idet den f(x) vi har fundet, jo er veldefineret

for x = både 2 og 10, og det v ille jo være en fornøjelse rent matematisk at få Vm til at passe perfekt..

------------------ 

Man kan inddele befolkningen i 10 kategorier -

Dem, der kender det binære system og . . .

Du skal starte med at betragte f ' (x)

Om den ved du, at den er negativ for x < 3, 0 for x=3 og positiv for x>3,
 

uanset den lige dykker ned og rører x-aksen i 5 og 8.

Dvs. at f ' skal have en rod i x=0 og dobbeltrod i både x=3 og x=8

Vi har da: f ' (x) = (x-3)(x-5)(x-5)(x-8)(x-8)

= x^5-29x^4+327x^3-1787x^2+4720x-4800

For at få den tilhørende stamfunktion F(x) må vi integrere f ' (x)

Vi får da F(x) = x^6/6-29x^5/5+327x^4/4-1787x^3/3+2360x^2-4800x
 

+ k.

Vi indsætter min/max (vent lidt med k) og får F = -78183/20 for x=3 og F = -3500

for x=10. Differencen er 8183/20, men da Vm = 11 (fra -3 til 8)

må vi "formindske" F (undtagen k) med 11*20/8183 = 220/8183.

Så skal vi ved hjælp af k have anbragt funktionen i den rigtige

"højde" i koordinatsystemet, så vi siger (220/8183) * F(3) = -3

(det sted, hvor F har minimum) og finder k = 40839/400 (= ca.

102,1).

Den søgte funktion er således:

(220/8183) * (x^6/6-29x^5/5+327x^4/4-1787x^3/3+2360x^2-4800)

+ 40839/400. ;-)