Matematik

Løsning af differentialligning y’=ky

05. november 2010 af Nadias (Slettet)

Opgave 5: k>0
Under passende omstændigheder (tilstrækkelig plads og næring) vil den hastighed, hvormed antallet af bakterier i en bakteriekultur vokser være proportionalt med det antal, der er i forvejen.
Kaldes antallet af bakterier for y og tiden for t, kan en sådan population beskrives ved differentialligningen: y' = ky, k>0 og y>0

1) Vis ved at indsætte i differentialligningen, at y=cekt er løsning.

2) Ved starten af et eksperiment er der 10.000 bakterier og efter 3 timer er der 500.000 bakterier.
Hvor mange bakterier vil der være efter en dag, hvis den ubegrænsede vækst fortsætter

3) Angiv fordoblingstiden for populationen.

4) Angiv den fuldstændige løsningsmængde til differentialligninger af typen y'= ky for k>0

Håber I kan hjælpe, er helt :O ..

Brugbart svar (1)

Svar #1
05. november 2010 af mathon

y = C·e^kt

y ' = (C·e^kt) ' = C·e^kt·(kt) ' = C·e^kt·k = k·(C·e^kt) = k·y

Brugbart svar (1)

Svar #2
05. november 2010 af mathon

1)
y = C·e^kt

y ' = (C·e^kt) ' = C·e^kt·(kt) ' = C·e^kt·k = k·(C·e^kt) = k·y

........

2)
y = 10⁴·e^kt

5·10⁵ = 10⁴·e^k·3

50 = e^3k

ln(50) = 3k

k = ln(50)/3 = 1,30401

y = 10⁴·e^1,30401•t

3)
y₂/y₁ = e^k(t₂-t₁) = e^kΔt

2 = e^kT2

ln(2) = k·T2

T2 = ln(2) / k = ln(2) / 1,30401 = 0,531551 timer = 31 min 53,6 s

Skriv et svar til: Løsning af differentialligning y’=ky

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.