Matematik

Divergent række

17. april 2005 af klokken_er_nu_01_34 (Slettet)

Hejsa.

Jeg skal vise, at potensrækken

\\sum_{n=0}^\\infty (2n+1)z^n

er divergent i ethvert punkt på konvergenscirklens rand. Hvordan gør jeg det?
Det skal lige siges, at jeg allerede har beregnet konvergensradius af rækken til at være 1.

Brugbart svar (0)

Svar #1
17. april 2005 af Epsilon (Slettet)

Hvad er en nødvendig betingelse for, at en række er konvergent?

//Singularity

Svar #2
17. april 2005 af klokken_er_nu_01_34 (Slettet)

Jeg ved ikke lige hvad du tænker på.

Brugbart svar (0)

Svar #3
17. april 2005 af Dominik Hasek (Slettet)

Jf. Singularitys hint, så er en nødvendig -- men ikke tilstrækkelig -- betingelse for at en række konvergerer, at leddene i række går mod nul for n (hvis n er indeks) gående mod uendelig.

Svar #4
17. april 2005 af klokken_er_nu_01_34 (Slettet)

Kan jeg/skal jeg bruge, at for |z|=1, da er lim((2n+1)z^n) -uendelig for z=-1 og n ulige og +uendelig i de andre til trefælde? Og så derefter henvise til den sætning som Hasek snakker om?

Svar #5
17. april 2005 af klokken_er_nu_01_34 (Slettet)

Var lidt uklart skrevet. Jeg mener

lim_{n \\to \\infty} (2n+1)z^n = -\\infty

for z = -1 og n ulige, og

lim_{n \\to \\infty} (2n+1)z^n = +\\infty

for de tre andre "kombinationer" af z og n. Er det så den korrekte måde at gøre det på?

Brugbart svar (0)

Svar #6
17. april 2005 af Epsilon (Slettet)

#5: Det bliver lidt omstændigt. Det kan skrives kortere;

På konvergenscirklens rand er |z| = 1, og leddene i rækken

lim_{n \\to \\infty}(2n+1)z^n

går derfor ikke mod 0 for n -> infty, hvorved rækken er divergent.

//Singularity

Brugbart svar (0)

Svar #7
17. april 2005 af Epsilon (Slettet)

I #6 skal der naturligvis stå

\\sum_{n=0}^\\infty (2n+1)z^n

//Singularity

Svar #8
17. april 2005 af klokken_er_nu_01_34 (Slettet)

Okay, takker!

Når jeg nu er i gang med at spørge, så har jeg i grunden et problem mere:

Sæt f(z) lig rækken ovenfor (med z værende et komplekst tal og |z|

g(z) = f(z)-z*f(z).

Hvordan klarer jeg det? Er det ikke bare at skrive

g(z) = (1-z)*(lim_{n \\to \\infty} (2n+1)z^n)

eller er det ikke en potensrække?

Brugbart svar (0)

Svar #9
17. april 2005 af Epsilon (Slettet)

#8: Du mener vist

g(z) = (1-z)*(\\sum_{n=0}^\\infty (2n+1)z^n)

En potensrække i z er en række af formen

\\sum_{n=0}^infty a_n*(z-a)^n

hvor a og a_n er (komplekse) tal. Så du skal bringe g på denne form.

//Singularity

Svar #10
17. april 2005 af klokken_er_nu_01_34 (Slettet)

Ja, jeg mener naturligvis

g(z) = (1-z)*(\\sum_{n=0}^\\infty (2n+1)z^n)

Jeg kan ikke lige finde ud af at omskrive (1-z)*z^n til noget på formen (z-a)^n (for jeg går ud fra at a_n = 2n+1). Gider du give mig et hint?

Brugbart svar (0)

Svar #11
17. april 2005 af Epsilon (Slettet)

#10: Ja, a_n = 2n+1.

Jeg overså, at der står 'potensrækkefremstilling', ikke 'potensrække'. Du skal blot udtrykke g ved blandt andet en potensrække i z. Lad os til en start skrive

g(z) =
(1-z)*(\\sum_{n=0}^\\infty (2n+1)z^n) =

[\\sum_{n=0}^\\infty (2n+1)z^n]
- [\\sum_{n=0}^\\infty (2n+1)z^(n+1)] =

[\\sum_{n=0}^\\infty (2n+1)z^n)]
- [\\sum_{n=1}^\\infty (2n-1)z^n]

Kan du selv herfra?

//Singularity

Svar #12
17. april 2005 af klokken_er_nu_01_34 (Slettet)

Hmm ... jeg er stadig lidt forvirret. Tror ikke helt jeg har forstået hvad en 'potensrækkefremstilling' egentlig er. Hvis du evt. gider at skrive den ønskede portensrækkefremstilling op for mig, så fatter jeg det garanteret fremover.

Brugbart svar (0)

Svar #13
17. april 2005 af Epsilon (Slettet)

#12: Du får oplyst, at

g(z) = f(z) - zf(z)

og opskriver

g(z) =
[\\sum_{n=0}^\\infty (2n+1)z^n]
- [\\sum_{n=0}^\\infty (2n+1)z^(n+1)]

Det er sådan set en potensrækkefremstilling for g, men den kan omskrives til et lidt simplere udtryk, hvilket jeg formoder, at du bliver bedt om.

Er du med på, hvad der foregår i #11?

//Singularity

Svar #14
17. april 2005 af klokken_er_nu_01_34 (Slettet)

Ja, jeg var lidt i tvivl om den sidste omskrivning, hvor du skifter indeks, men det har jeg fundet ud af nu -- så ja, jeg er med på hvad der foregår i #11.

Brugbart svar (0)

Svar #15
17. april 2005 af Epsilon (Slettet)

#14: Godt, så fortsætter vi fra #11;

[\\sum_{n=0}^\\infty (2n+1)z^n)]
- [\\sum_{n=1}^\\infty (2n-1)z^n] =

1 + [\\sum_{n=1}^\\infty (2n+1)z^n)]
- [\\sum_{n=1}^\\infty (2n-1)z^n] =

Bemærk, at nu har begge rækker samme indicering og samme potensled, z^n. Så kan du subtrahere ledvis, så du kun har én række. Hvad giver det?

//Singularity

Svar #16
17. april 2005 af klokken_er_nu_01_34 (Slettet)

Kan det passe, at

g(z) = -1 + 2*\\sum_{n=1}^\\infty z^n

når man trækker sammen på det?

Brugbart svar (0)

Svar #17
17. april 2005 af Epsilon (Slettet)

#16: Hvis du lige ændrer fortegnet på -1, så er det korrekt, at

g(z) = 1 + 2[\\sum_{n=1}^\\infty z^n]

Hvad så herfra?

//Singularity

Svar #18
17. april 2005 af klokken_er_nu_01_34 (Slettet)

Tihi, +1 naturligvis.

Tænker du på om der er mere jeg skal vise, eller hvad mener du lige med "hvad så herfra?", for har jeg da ikke fundet en en potensrækkefremstilling af g(z) nu?

Brugbart svar (0)

Svar #19
17. april 2005 af Epsilon (Slettet)

#18: Jo, det har du da. Om man så foretrækker

g(z) = 1 + 2[\\sum_{n=1}^\\infty z^n]

eller

g(z) = 1 + 2[\\sum_{n=0}^\\infty z^(n+1)]

eller

g(z) = 2[\\sum_{n=0}^\\infty z^n] - 1

må vel være en smagssag. Men du skal vel vise noget om g, ikke?

//Singularity

Svar #20
17. april 2005 af klokken_er_nu_01_34 (Slettet)

For resten, så er jeg lidt forvirret, for kan det ikke passe, at

g(z) = 1 + 2[\\sum_{n=1}^\\infty z^n] = (z-3)/(z-1)?

Det skal give

g(z) = (1+z)/(1-z)

ifølge opgaveformuleringen.

Forrige 1 2 Næste

Der er 29 svar til dette spørgsmål. Der vises 20 svar per side. Spørgsmålet kan besvares på den sidste side. Klik her for at gå til den sidste side.