separation af de variable

                                            (-1/y²)dy/dx = -1

kunne du uddybe dit svar en smule mathon?? :-)

dy/y² = dx integrer på begge sider af lighedstegnet.

dy/dx = y^2

indsæt dy/dx = y ' og tilføj funktionen a(x) = 1 på højresiden og y er selvfølgelig forskellig fra 0:

y ' = a(x) * y^2

gang med 1 / y^2 på begge sider:

(1 / y^2) * y ' = a(x)

Indsæt G '(y) = 1 / y^2:

G '(y) * y' = a(x)

indsæt y = f(x):

G '(f(x)) * f '(x) = a(x)

Regneregel for sammensat funktion:

(G(f(x))) ' = a(x)

indsæt A '(x) = a(x) og flyt over på den anden side:

(G(f(x))) ' - A '(x) = 0

Differentation af differens:

(G(f(x)) - A(x)) ' = 0

Differentier:

G(f(x) - A(x) = c , hvor c er konstant

indsætter y = f(x) og flytter A(x):

G(y) = A(x) +c

omskriver stamfunktionerne til integraler (husk G '(y) = 1 / y^2 og a(x) = A '(x) = 1):

∫G '(y)dy = ∫ A '(x)dx +c

∫(1 / y^2) dy = ∫ 1 dx + c

∫(1 / y^2) dy = ∫ 1 dx + c

-1 / y +c2 = x + c3 + c , hvor c2 og c3 er konstanter.

-1 / y = x + c3 + c - c2

indsætter c3 + c - c2 = k , så det bliver til kun en konstant:

-1 / y = x + k

ganger nu med x + k og dividerer med y:

y = -1 / (x + k)

Nu er vi kommet til at man kan indsætte værdierne for x og y for at isolere k:

Punktet A(1,1) y = 1 , x = 1:

1 = -1 / (1 + k)

1 + k = -1

k = -2

Den første løsning bliver da:

y = -1 / (x - 2) , husk x forskellig fra 2

På samme måde for punktet B.....

I praksis bruger man normalt Leibniz' skrivemåde, bemærk at det ikke er et bevis men en enkel måde at regne det på uden at bruge lommeregneren:

dy/dx = y^2 * a(x), y forskellig fra 0 og a(x) = 1

ganger med dx og dividerer med y^2 på begge sider:

(1 / y^2) dy = a(x) dx

dette kan nu let omskrives til integraler:

∫ (1 / y^2) dy = ∫ a(x) dx

indsætter a(x) = 1:

∫ (1 / y^2) dy = ∫ 1 dx

Nu kommer vi frem til samme resultat:

-1 / y +c2 = x + c3 , hvor c2 og c3 er konstanter.

y = -1 / (x + k) , hvor k = c3 - c2 er en konstant.

Håber du kan bruge beviset til noget. Jeg skal snart skrive opgave om differentialligninger, så jeg øver mig lidt hehe:)

@ #2
se

Med lommeregneren....

deSolve(y ' = y^2, x, y)

y = -1/(x + k)

Punktet A(1,1) indsættes:

solve(1 = -1 / (1+k), k)

k = -2

Løsning A må da blive:

y = -1 / (x - 2)

Punktet B(1,-1) indsættes:

solve(-1 = -1 / (1+k), k)

k = 0

Løsning B må derfor blive:

y = -1 / x

Mathon jeg kan ikke se hvor du får (-1/y2)dy/dx = -1 fra? Idet formlen dy/dx = y^2 er opgivet:

eksempel:

dy/dx = y^2

dy / dx / y^2 = 1

dy / (dx * y^2) = 1

dy / y^2 = 1 dx

(1 / y^2) dy = 1 dx

omskrives nu til ubestemt integral:

∫ (1 / y^2) dy = ∫ 1 dx

Jeg kan ikke forstå hvordan du kommer frem til (-1/y2)dy/dx = -1 ?
 

         dy/dx = y²                                  multiplicer med -(1/y²)        på begge sider

         -(1/y²)·dy/dx =-1

Det er da rigtigt! Havde jeg læst opgaveteksten ordentligt havde det været nemmere at indse det...

Bestem de to løsninger til differentialligningen

dy/dx=y^2

Hvis grafer går gennem henholdsvis A(1,1) og B(1,-1).

(To løsninger pr. punkt) dvs:

Første graf:

dy/dx = y^2

(-1/y^2)dy = -1dx

∫ (-1/y^2)dy = ∫ -1dx

1/y = -x + k

y = 1 / (-x + k)

Anden graf:

dy/dx = y^2

(1/y^2)dy = 1dx

∫ (1/y^2)dy = ∫ 1dx

-1/y = x + k

y = -1 / (x + k)

Til løsning A skal indsættes X = 1 og y = 1 i begge grafer:

1 = 1 / (-1 + k)

k = 2

og

1 = -1 / (1 + k)

k = -2

løsningerne bliver da:

y = 1 / (-x + 2)

og

y = -1 / (x - 2)

På samme måde løses for punktet B...

Men det vi viser er vel bare at fortegnet foran konstanten er ligegyldigt

y = 1 / (-x ± k) altså

y = 1 / (-x - k) = -1 / (x + k)

og

y = 1 / (-x + k)