Uendelig række, konvergens

Rækken er slet ikke defineret for x ≤ 0 . For x ∈ R₊ er rækken ækvivalent med rækken

∑_n=1^∝ 1/yⁿ

 Du har ret, der står også i opgaven R+

Men, den er stadig konvergent. Hvordan skal jeg vise, at den er det? Er det nok, at bruge forrige argument, hvor altså  x tilhører R+ eller er der en anden fremgangsmåde?

 Er der nogen, der kan give et råd?

#3

Rækken i #1 er jo også ækvivalent med rækken

∑_n=1^∝ zⁿ , z ≠ 0 , der har konvergensradius 1 , så rækken

∑_n=1^∝ 1/yⁿ er konvergent for |y| > 1 , og dermed er rækken

∑_n-1^∝ 1/(ln(x))ⁿ konvergent for |ln(x)| > 1 , dvs, for ln(x) > 1 eller for ln(x) < -1 , dvs for x > e, eller 0 < x < 1/e .

 Jeg forstår ikke helt hvordan du kommer fra yn til (ln(x))ⁿ i nævnerne :/

Og hvorfor det skal være et produkt i den anden sætning, altså y*n

#5

Det skulle være 1/yⁿ , som det netop er blevet rettet til, og den sidste sum i #4 går fra n=1 til ∝ , ikke n-1 .

 Ok, så er jeg med :) Mange tak

En helt ækvivalent måde at løse den på:

Du skal blot indse, at

∑1/ln(x)ⁿ=∑(1/ln(x))ⁿ.

Rækken konvergerer for |k|<1, og idet vi har, at k=1/ln(x), finder vi, at

|1/ln(x)|<1, hvoraf vi finder, at rækken konvergerer på intervallet x∈]0;e[.

#8

Det er ikke helt korrekt til sidst. Rækken er slet ikke defineret for x = 1 . Vi får i stedet

|1/ln(x)| < 1 ⇒ |ln(x)| > 1 ⇒ ln(x) > 1 ∨ ln(x) < -1 ⇒ x > e ∨ 0 < x < 1/e ,

se også #4. Rækken er divergent for 1/e < x < e .