svær matematik (mellemregning)

der er tale om anden ordens differentialregning.. 

Hmmm... Sikker på at du har skrevet det sidste rigtig ned?

Du starter med:

f(x) = k²*h(x)²+h'(x)²

df(x)/dx = k²*d(h(x)²)/dx + d(h'(x)²)/dx = k²*2*h(x)*d(h(x))/dx +2*d(h(x))/dx*d²(h(x))dx²

            = k² * 2 * h(x) * h'(x) + 2 * h'(x) * h''(x)

Husk din regel med: d(f(x)ⁿ)/dx = n * d(f(x)^n-1)/dx * d(f(x))/dx

tak for den regel, det hjælper lidt, men der mangler lidt for at jeg kan se det for mig. 

hvad mener du med om jeg har skrevet det rigtigt ned? er det forkert da? 

jeg har skrevet den ned fra bogen, jeg sidder med.. 

det er et bevis, som jeg ikke helt forstår når der næsten ingen mellemregninger er!

Regel:

Hvis:  g(x) = f(x)ⁿ 

og du differentierer:

g'(x) = n*f(x)^n-1 * f '(x)

Bevist for denne kan jeg ikke huske.

Hvis du ser på min tidligere anden sidste linje sidste led:  2 * h'(x) * h''(x)

Som jeg mener er rigtigt og ikke er helt ens med dit:           2 * h(x) * h''(x)

nå okay, dog står der som det jeg har skrevet ned. 

du skal huske på at dette er anden ordens differentialregning. så må der være en anden regel. 

her står der bare at vi kommer fra udtrykket 1 til udtryk 2 ved hjælp differentiation regneregler. jo tak - det er da en stor hjælp :S når de vælger ikke at skrive hvilke regler der er tale om. 

ups - du har fuldstændig ret! jeg havde overset det - din løsning er rigtigt!

kan du også hjælpe med dette, når vi går fra udtryk 2 til dette

     2 * h'(x) * [k²* f(x) + f''(x) ] = 2 * g'(x) * 0 = 0 

Hmmm... Vil nu mene at uanset hvilken orden vi snakker om er der ingen forskel, så længe vi bare differentierer.

Du kan også prøve at gøre "prøve". Hvis du differetier på begge sider, vil du også have differentieret med lige antal dx. (eller du skal lægge lige så mange '  på hvert led).

F.eks.

f(x) = a(x) +b'(x) ->  f'(x)  = a'(x) +b''(x).

f ⁴' (x) = a⁴' (x) +b⁵' (x)

du havde ret! men kan du hjælpe med det jeg skrev i #6?

Hvad er g(x) ? Mener du h(x)?

ja det gør jeg :)  

har siddet med det i lidt for lang tid, så blander lidt rundt, kan jeg se. 

men jo det er naturligvis h(x) 

MÅSKE kan jeg, men for det første du er sikker på det er [k²f(x) + f ''(x)]  (Bare for at være sikker)

For det andet, kender du så noget omkring h(x) ? Det skulle vel ikke være sådan at h(x) = e^ikx ?

nej der er godt nok et gange tegn mellem k² og f(x), hvis det er hvad du mener.

jeg sidder med denne sætning:

Sætning:

hvis k ≠ 0 gælder for funktionen f at 

f''(x) = -k2 * g(x) 

g(0) = g'(0) = 0 

=> g(x) = 0 

Bevis: 

snedigt tiføjes h(x).. og resten kender du jo. udtrykket for h(x) osv. har vi skrevet om længere oppe. 

det skal gerne ende med at h'(x) = 0 og dermed skulle h gerne være en konstant (står der længere ned i beviset)

så skal bare lige vide hvordan man kommer fra udtryk 2 til udtryk 3. 

for at forvirre dig lidt mere så havde jeg for eksempelets skyld lavet om i navnene i udtrykkene gennem hele tråden. 

f(x) er i beviset kaldt for h(x) 

og h(x) inde formelen er blevet kaldt for g(x) 

ved ikke om det hjælper eller bare forvirrer dig mere. 

Så det der egentlig står er:

2 * g'(x) * [k²* h(x) + h''(x) ] = 2 * g'(x) * 0 = 0

h(x) = k² * g(x) * g(x) + g'(x) * g'(x)

h'(x) = k² * 2 * g(x) * g'(x) + 2 * g(x) * g''(x)

Samt:

h''(x) = -k² * g(x)

g(0) = g'(0) = 0

=> g(x) = 0

???

det står ikke i den rækkefølge og heller ikke helt sådan. se nedenstående:

Sætning

g''(x) = -k² * g(x)

g(0) = g'(0) = 0

=> g(x) = 0

Bevis

snedig defineres en h

1.          h(x) = k² * g(x)² + g'(x)²  

2.          h(x) = k² * g(x) * g(x) + g'(x) * g'(x)    

3.          h'(x) = k² * 2 * g(x) * g'(x) + 2 * g(x) * g''(x)

4.          2 * g'(x) * [k2* h(x) + h''(x) ] = 2 * g'(x) * 0 = 0

som det ses har du gået fra udtryk 2 til 1, mens der i beviset er gjort det omvendte. 

Argghh... Nu fandt jeg ud af det... Hvis det er sådan, som det står i din bog, så står det simpelthen forkert! Det gør det jo desværre engang imllem (har selv prøvet at miste ugers arbejde på sådan nogle irriterende ting! :(  )

Erstat h(x) med g(x) og h''(x) med g''(x) i den sidste ligning. Tag derefter 2*g'(x) uden for parantes. Eller rettere ( fra 3 -> 4):

 h'(x) = k² * 2 * g(x) * g'(x) + 2 * g(x) * g''(x) = 2*g'(x)* [ k2* g(x) + g''(x)].

Da Det vides at: g''(x) = -k² * g(x)

Kan der skrives:

h'(x) = 2*g'(x)* [ k2* g(x) + -k2 * g(x)] = 2*g'(x)*0 = 0

Da denne er fundet til nul er h(x) en konstant, som kan findes vha. linje 1. Derefter findees så at g(x) = 0.

Da udtryk 1 og 2 er ens, gør det ikke noget man starter med.

må indrømme du er MEGET skrap til det her :) 

det er IGEN mig der har fejlet i at skrive af. jeg forstår ikke hvordan jeg kunne lave det fejl. 

men jeg forstår det stadig ikke. 

kan stadig ikke se hvordan vi kommer fra udtryk 1/2 til 3. 

men kan godt se fornuften i fra 3 - 4 

Okay. Jeg går ud fra at du er med på at 1 og 2 er ens. Bare skrevet lidt forskelligt.

Det kører efter reglen:

Hvis: g(x) = f(x)ⁿ

og du differentierer:

g'(x) = n*f(x)^n-1 * f '(x)

Kan ikke huske beviset, men prøv at overveje:

g(x) = x⁴ = y²    Dvs.: y = x²

Dermed:

g'(x) = 2*y^2-1* y '(x) = 2*(x²)¹* 2*x = 4*x³.  Dermed det samme, som hvis du bare havde regnet direkte.

Du benytter samme princip. Overvej 1 -> 3:

1. h(x) = k² * g(x)² + g'(x)² 

-> h(x) = k² * 2*g(x)^2-1*g'(x) +2*g'(x)^2-1*g''(x) =k² * 2*g(x)*g'(x) + 2*g'(x)*g''(x)
 

Dermed det samme som nummer 3:

3. h'(x) = k² * 2 * g(x) * g'(x) + 2 * g(x) * g''(x)

Der skulle i sidste linje have stået:

h'(x) = k² * 2 * g(x) * g'(x) + 2 * g'(x) * g''(x