Differentialligning af 2. orden

Vis, at

y = a·cos(kx) + b·sin(kx) , hvor a og b er konstanter,

er en løsning til differentialligningen, og at enhver løsning kan skrives på den form.

Mange tak for hjælpen ;)

Hilsen Jonas

Men hvordan kan man vise at det du skrev er en løsning til differentialligningen? Hvad er fremgangsmåden, jeg er helt lost lige nu .....

Indsæt den funktion i differentialligningen. Hvis

y = a·cos(kx) + b·sin(kx) ,

beregn så y' og y'' og eftervis ved indsættelse, at y'' + k²y = 0

Jeg ved ikke om du kan uddybe det noget mere, for jeg forstår det slet ikke? Kan ikke komme igang... måske kan du stille det op for mig?

k skal jeg være et reelt tal, kan det så passe at løsningen er som ovenstående?

på forhånd tak

Man efterviser at

y = a·cos(kx) + b·sin(kx)

er løsning til differentialligningen y'' + k²·y = 0 ved at indsætte funktionsudtrykket i differentialligningen.

Vi har

y' = -k·a·sin(kx) + k·b·cos(x) , og dermed

y'' = -k²·a·cos(kx) -k²·b·sin(kx) = -k²·(a·cos(kx) + b·sin(kx)) = -k²·y

Jeg skal jo ikke eftervise at y = a·cos(kx) + b·sin(kx) er løsningen til differentialligningen. Jeg skal jo netop udlede formlen for den fuldstændige løsning?

If you want to find the solution of a (this) linear differentialequation of the second order,
you need to study the theory of this kind of equations. You need to know and need to prove

1) If y₁ is a particulkar solution then ky₁ is one also
2)If y₁ and y₂ are independent particular solutions so is their sum y₁+y₂
3) If y1 and y2 are independent particular solutions then; Ay₁+By₂ (A and B arbitrarily constants) Is the complete solution

If this is quite "volapuk" , you have to study (your) a textbook.

PS ; For a full treatment of this kind of equations, you need to know about complex numbers too!!.

Skal jeg til at snakke om komplekse tal, når jeg har fået oplyst at k skal være et reelt tal?