Fysik
Partiel integration
Hej,
jeg skal vise, at impulsoperatoren er hermitisk i positionsrepræsentationen i kvantemekanikken. Som I nok ved er impulsoperatoren givet ved:
p = (-ih/2p) * d/dx
Og man skal altså vise at:
<x'lplx''> = <x''lplx'>*
Nu ved jeg at dette skal gøres med partiel integration, som jeg ikke har haft om, men jeg har læst mig til formlen, hvilket dog anvendt giver mig et forkert resultat. Jeg har sagt:
<x'lplx''> = ∫a(x)*((-ih/2p) * d/dx)b(x)dx
(Så ville det være belejligt, hvis jeg kunne lade differentialoperatoren virke på ?1(x)*, men det kan den vel ikke, da dette er en bra-vektor. Hvordan virker en operator helt præcist, når den står inde mellem en bra- og en ket som
<alAlb>? Man kan vel ikke blot lade operatoren virke på <al som den virker på lb>?)
Vender vi tilbage til integralet er jeg ikke sikker på, hvordan det skal reduceres, men jeg ved at man ender med et integral af prikproduktet for de 2 funktioner, som man smider væk på grund af at bølgefunktionen skal gå mod 0 for x gående mod minus uendelig og uendelig. Men dette er en ting jeg heller ikke forstår. For skal bølgefunktionen integreret over hele rummet ikke give 1? Og i så fald, hvorfor bliver dette integral lig 0. Eksemplet kunne jo lige så godt have kørt med bølgefunktionen selv.
Mange spørgsmål over et lidt uklart problem. Jeg lægger derfor en side op, hvor problemet er vist, så I ikke skal tyde mine ligninger:
http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=254553
kan nogen ikke forklare i kortere skridt, hvad der gøres på vej mod resultatet?
Svar #1
18. december 2010 af peter lind
Hvad er det for et underligt p du har i <x'lplx''> = ∫a(x)*((-ih/2p) * d/dx)b(x)dx ?
Når man skriver en tilstandsfunktion som |n> siger man ikke noget om hvilken repræsentation man bruger altså ikke om det er udtrykt ved sted, impuls eller lignende. I nogle tilfælde kan man regne på denne generelle form nemmere end hvis udtrykte det ved stedkoordinater. Andre gange er det bedst at bruge bølgefunktionen, hvad det er her.
Der skal som du selv siger gælde at ∫-∞∞|ψ|2dx = 1. Dette kan kun lade sig gøre hvis ψ(x) -> 0 for x ->±∞. Antag for eks. at |ψ(x)|2 > 1 for x > a > 0 . For et R>a vil der så gælde ∫aR|ψ|2dx > ∫aR1dx = R-a -> ∞ for R -> ∞ . Funktionen kan altså aldrig blive et endeligt tal.
Bortset fra en konstant faktor har du leddet [ψ(x,t)*ψ(x,t)]-RR = ψ(R,t)*ψ(R,t) - ψ(-R,t)*ψ(R,t) -> 0 for R ->∞
Jeg synes det er lidt dristigt at gå i gang med dette her, hvis du ikke kender differential- og integralregning rimelig godt
Svar #2
19. december 2010 af aaaa202 (Slettet)
Nej, jeg tror jeg har fået det til at virke. Man skulle jo blot bruge at bølgefunktionen forsvinder ved plus og minus uendelig.
Du må dog gerne tjekke om det er korrekt gjort. Jeg vedhæfter i alt fald mit bud i nedenstående (hvis den virker)
Bemærk de underlige tal er forklarende fodnoter (jeg orkede ikke at slette dem)
Skriv et svar til: Partiel integration
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.