Optimering - 200 meter hegn

Nu kan jeg ikke se et billede af den men det skulle vel aldrig være sådan at den består af en rektangel og en halvcirkel?

 der medfølger ikke noget billede til opgaven, kun det som står ovenover :S

ok 2 sekunder så

Se i optimering og du skal beregne overflade areal skal du se på to ting:

1. Figuren (har den en højde eller har den kun længde og bredde) i så fald skal du benytte dig af omkredsen

2. Når 1 er bestemt så er arealet af figuren det den består af.

Omkredsen er 200m og det er en rektangel:

200=2*l+2*b

Heraf skal du isolerer en af de 2 ubekendte, jeg har her fundet en omskrivning af l, l=-b+100

Herefter definerer du arealformlen som en funktion af b og løser A'(b)=0

A'(b)=0 <=> b=50

Herefter bestemmer du l hvilket du kan gøre ud fra det du har defineret l som. l=-50+100 <=> l=50

Så for rektanglet gælder b=l og det størst mulige areal er derfor: A(50)=50*50=2500m^2

Kvadratet udnytter bedst muligt arealet i forhold til omkredsen. Kvadratet bliver da et ligesidet rektangel.

omkreds af rektanglet:

                                               2(L+ B) = 200

                                               L + B = 100

                                               L = (100 - B)

areal af rektanglet:             
                                               A = L·B = (100 - B)·B

                                               A(B) = 100B - B²

                                               A '(B) = 100 - 2B
        

ekstremum kræver:
                                              A '(B) = 100 - 2B_o = 0

                                                            B_o = 50

                                    fortegnsvariation for A '(B):                   +              0           -              
                                                                           B:    __0____________50___________
                                                  monotoni for A(B):              _{voksende        max.    aftagende}

hvoraf
                                              A(50) er maksimal areal
som opnås
                                              B = 50 og L = 100 - 50 = 50

dvs
                                              når rektanglet udarter til et kvadrat
                                             

eller, det rektangel der har det største areal er et kvadrat med sidelængden 50m når omkredsen er 200m

 Super fedt.. rigtige gode forklaringer !

jeg siger mange tak. :)

forstår dog ikke helt det med at alle siderne så skal være 50? så er det jo en kvadrat og ikke en rektangel?

Måske en lille finte; et kvadrat er blot et specialtilfælde af et rektangel, som er lige-sidet.

Uanset, hvilken omkreds du har til rådighed, vil kvadratet, frem for rektanglet, altid give det største areal - vel at mærke, når alle fire sider skal udgøre omkredsen. 

 http://www2.mat.dtu.dk/people/V.L.Hansen/kvadrathist.pdf

# 10   Et morsomt indlæg, som gør det sjovt at være her.