Matematik
Logistisk vækst
Jeg skal skrive lidt om logistisk vækst, og er i tvivl om hvorvidt nedenstående er rigtigt. Er der mon nogle der kan hjælpe? Den simpleste måde tilvæksten per individ kan aftage på, er taget i brug og altså beskrevet lineært:
ΔNn / Nn-1 = c · (1 - "N" _"n-1" /"M" )
Forskriften for en logistisk funktion kan altså (her) skrives som:
N(t)=M/((M/N_0 -1) e^(-c·t)+1)
En graf vil således først så eksponentielt voksende ud, men på et tidspunkt flade ud idet produktionsloftet/bæreevnen nås. y’ er altså proportionel med populationen, men også med afstanden til den øvre grænse – hvilket får den til at flade ud når den øvre grænse nås. Der gælder:
x→ ∞ går e^(-ct)→0 heraf får vi: f(x)→ m/(1+c*0)=m for x→∞.
Væksthastigheden er altså konstant, indtil mætningsværdigrænsen er nået, hvor den flader ud. Højresiden er altså y ganget med en lineær funktion af y .
y’=y*(b-ay)
løsningen til ligningen: y=(b/x)/(1+c*e^-bx)
(ISÆR DET HER vil jeg gerne have forklaret...)
Svar #1
15. februar 2011 af AMelev
Jeg forstår ikke, det første, du skriver, så jeg holder mig til det sidste
Det kræver noget, at bestemme løsningsformlen til den logistiske ligning, men du kan i hvert fald checke, om det angivne y-udtryk y=(b/x)/(1+c*e^-bx) ER løsning, ved at indsætte i differentialligningen y’=y*(b-ay).
Du vil så opdage, at det er det ikke: Løsningen hedder y=(b/a)/(1+c*e^(-bx))
Hvis du vil udlede løsningsformlen, skal du benytte separation af variable og partialbrøksopsplitning. Se evt. disse links Logistisk vækst 1 og Den logistiske ligning.
Skriv et svar til: Logistisk vækst
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.