Matematik
Inhomogen differentialligning af 2. orden
Jeg sidder og regner en opgave igennem med en inhomogen differentialligning af 2. orden. Det går i og for sig glimrende, men det viser sig, at der er en ekstra løsning til den homogene del af ligningen, som jeg ikke har fået med. Det undrer mig, for jeg har nu snart regnet rigtig mange af denne slags opgaver og har ikke oplevet dette før.
Der er tale om
hvoraf løsningerne til den homogene ligning fremkommer ved at løse det karakteristiske polynomium
som meget gerne skulle have løsningerne
Følgeligt findes de partikulære løsninger ved et gæt på
da det ses, at allerede er en (proportional) løsning. Ved differentiering og substituering i differentialligningen fås, at
giver endnu en løsning, hvorfor den fuldstændige løsning til den inhomogene differentialligning fås som
Dette er imidlertid ikke rigtigt. Lommeregneren får
hvor den sidste løsning tydelig ses at være en løsning til den homogene del af differentialligningen. Men hvordan er det lige, at jeg finder den?
Svar #1
19. februar 2011 af Andersen11 (Slettet)
De to løsninger er jo ækvivalente , da -(1/64)e-t kan absorberes i c2e-t .
Svar #2
19. februar 2011 af Walras
#1 Præcis.
Det undrede mig også, da -(1/64)e-t jo om ikke andet ihvertfald var fuldt ud proportional med c2e-t. Vil du mene, at det er i orden så helt at undlade denne sidste løsning, når den fuldstændige løsning skal opskrives? Hvorfor udregner lommeregneren i det hele taget -(1/64)e-t?
Svar #3
19. februar 2011 af Andersen11 (Slettet)
#2
Ja, dit eget bud på den fuldstændige løsning er korrekt. Du må henvende dig til fabrikanten af din lommeregner, for at finde svaret på dit sidste spørgsmål.
Det er ofte sådan, at en lommeregner kommer med en analytisk løsning til et problem, der ved første øjekast ser forskelligt ud fra det, man kommer frem til manuelt. Ved nærmere eftersyn drejer det sig tit om ekstra led, der kan reduceres til en konstant og derfor kan indgå i integrationskonstanten. Hvis man har formuleret problemet korrekt, kan man gå ud fra, at lommeregneren giver et korrekt resultat; men det er ikke altid det simpleste udtryk.
Skriv et svar til: Inhomogen differentialligning af 2. orden
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.