Matematik

2 simple spørgsmål om banekurver

10. maj 2005 af T2005 (Slettet)

Hej,

Hvis man har banekurven med x = f(t) og y = g(t), og man bliver bedt om at bestemme et areal, som banekurven afgrænser, vil det så være tilstrækkelig argumentation at bruge lommeregneren / tegne skitse af grafen og derfra bestemme de to værdier af t, t1 og t2, til indsætelse i formlen: A = integralet af g(t)* f'(t) fra t1 til t2 ? (kan man i øvrigt på en nem måde på en TI-83 tjekke at sådanne arealer er beregnet rigtigt?)

Og hvad gør man hvis man får et "skævt" areal, som ikke ligger pænt symmetrisk omkring x-aksen?

Brugbart svar (0)

Svar #1
10. maj 2005 af Dominik Hasek (Slettet)

Til første spørgsmål:

Nej, det er ikke tilstrækkeligt! Og jeg kan ikke huske at bruge TI-83 Plus, så det kan jeg desværre ikke hjælpe dig med.

Til andet spørgsmål:

Så gør du det samme, som hvis grafen var symmetrisk omkring x-aksen ...

Svar #2
10. maj 2005 af T2005 (Slettet)

til det første: Hvad skal man så gøre ud over det?

Svar #3
10. maj 2005 af T2005 (Slettet)

og til det andet: det samme? Jeg kan jo ikke bare finde et stykke af arealet, og så gange det med 2, som når det er symmetrisk.. kan du ik forklare det lidt nærmere? :)

Svar #4
10. maj 2005 af T2005 (Slettet)

? :)

Svar #5
10. maj 2005 af T2005 (Slettet)

For eksempel hvis det er kurven der ses på (ret primitiv skitse) http://dev.webxp.dk/sd/kurve.jpg, hvor man skal finde arealet der er markeret med prikker. (det skal forestille kurven x=t^3-t, y=2t^2-t-1)

Hvordan skulle jeg gøre det?

Har jo formlen der siger

Arealet A = integralet af g(t)*f'(t) fra t1 til t2,

hvis det er banekurven x = f(t) og y = g(t).

Men det er ikke rigtigt at finde de to t-værdier for dobbeltpunktet på kurven på billedet, og sætte disse ind i formlen som t1 og t2?

Hvordan gør man så ? :)

Brugbart svar (0)

Svar #6
11. maj 2005 af Dominik Hasek (Slettet)

Undskyld det sene svar.

Det er længe siden jeg har beskæftiget mig med parametriseret kurver, så det kan godt være at der nogle smarte "tricks", som jeg ikke kan huske længere, men her er et forslag:

Du ved, at

(x(t), y(t)) = (t^3-t, 2t^2-t-1) =>

(x'(t), y'(t)) = (3t^2-1, 4t-1).

Nu finder du så minimumsværdien for y:

y'(t) = 0 => t = 1/4.

Husk at argumenter for, at dette faktisk er minimum for y. Ved at indsætte den fundne t-værdi, fås følgende:

y(1/4) = ... = -9/8.

For at få hele banekurven til at ligge over x-aksen, skal du altså "skubbe" den 9/8 på ad y-aksen. Dette giver en banekurve, der kan beskrives ved

(x(t), y_2(t)) = (t^3-t, 2t^2-t+1/8).

Da hele denne banekurve (som jo naturligvis indeslutter en punktmænge med samme areal som den oprindelig banekurve) ligger over x-akse, kan du nu bruge den formel, du omtaler i #5.

Svar #7
11. maj 2005 af T2005 (Slettet)

tak for svaret :)
Men man kan så godt bruge formlen selvom det ikke er på et stykke af banekurven, hvor banekurven kunne være en del af en "almindelig" reel funktion?

Svar #8
11. maj 2005 af T2005 (Slettet)

eller?

Brugbart svar (0)

Svar #9
11. maj 2005 af Dominik Hasek (Slettet)

Prøv at omformuler dit spørgsmål i #7, for jeg forstår ikke helt hvad du mener?

Svar #10
11. maj 2005 af T2005 (Slettet)

altså du siger jeg bare kan bruge formlen, efter at have "flyttet" kurven op over x-aksen.

Men kan man så bare sætte de to t-værdier ind, (dem hvor der er et dobbeltpunkt), i formlen, for at få arealet af det markerede på figuren?

Brugbart svar (0)

Svar #11
11. maj 2005 af Dominik Hasek (Slettet)

Ja, for som du garanteret ved, så udtaler integraler sig om arealer under kurver (løst sagt). Hvis hele punktmængden ligger over (eller under) x-aksen, så skal du ikke "lægge noget til" og "trække andet fra"; her skal du kun lægge til (idet banekruver ligger over x-aksen) -- havde den ligget under, skulle du blot have et negativt fortegn på integralet.

Svar #12
11. maj 2005 af T2005 (Slettet)

det er kun fordi jeg ikke rigtigt ser hvad det er for en funktion jeg integrerer. Kigger jo bare på stykket af banekurven, og det kan man jo sige er en funktion, og så var jeg ikke sikker på om man bare kunne bruge formlen alligevel, på det stykke af banekurven :)

Skriv et svar til: 2 simple spørgsmål om banekurver

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.