differentiallignings type

Benyt panserformlen.

100/3y'+y=g(t)

Giver det bedre mening nu?

Opskriv det karakteristiske polynomium:

100/3r+1=0 <=> r=-3/100

og find da en løsning ved at gætte på u*(t)=At+B, så u*'(t)=A og indsætte i differentialligningen

100/3A+At+B=20+0.25t 

hvor det ses, at A=0.25 og 100/3A+B=20 <=> 100/3*0.5+B=20 <=> B=140/12

således, at den fuldstændige løsning er

y(t)=c_1e^(-3/100·t)+0.25t+140/12

 #2 

Det gav igen mening for mi det der :-)

Kan du måske på pædagogisk vis forklare det igen ?

Jeg kan da prøve, men hvis du aldrig har set den metode før, kan det godt være, at panserformlen er nemmere at benytte for dig. :)

Jeg formoder ikke, at der er nogen problemer ved at isolere g(t) i ligningen, så du får den skrevet på formen

100/3y'+y=g(t)

så lad os starte her.

Hvis vi lige indsætter g(t), har du altså den inhomogene differentialligning

100/3y'+y=20+0.25t.

Den tilhørende homogene differentialligning er da givet ved

100/3y'+y=0

Den fuldstændige løsning til en homogen førsteordens differentialligning er givet på formen

y(t)=Ce^(r·t),

hvor r er roden i det karakteristiske polynomium. Det karakteristiske polynomium skal du opskrive ud fra den homogene del af differentialligningen. Helt generelt vil en homogen førsteordens differentialligning af formen

Ay'+By=0

have det tilhørende karakteristiske polynomium

Ar+B=0.

Overføres dette på din specifikke opgave har vi altså, at det karakteristiske polynomium er givet ved

100/3r+1=0,

som løses for r=-3/100. Den homogene ligning har altså den fuldstændige løsning

y(t)=Ce^(-3/100·t)

Nu skal du så finde den partikulære løsning, som følger med den inhomogene del af ligningen. Dette gøres ved den avancerede gættemetode. :-) Du ser simpelthen bare på udtrykket og finder noget, der ligner. Da du har

100/3y'+y=20+0.25t

er det naturligt at gætte på u*(t)=At+B, idet højresiden i differentialligningen kan skrives på denne form. Vi differentierer så dette gæt u*'(t)=A og indsætter da begge i differentialligningen på y og y' plads. Vi har da

100/3(A)+(At+B)=20+0.25t.

Det følger da, at At=0.25t <=> A=0.25 og følgeligt, at 100/3A+B=20 <=> 100/3*1/4+B=20 <=> 100/12+B=240/12 <=> B=140/12. Nu er det så læt at se, at den partikulære løsning er givet ved u*(t)=0.25t+140/12, og den lægger du bare til den fuldstændige løsning for den homogene løsning. Altså har du, at

y(t)=Ce^(-3/100·t)+0.25t+140/12.

Det er så den fuldstændige løsning til den inhomogene differentialligning. 

Ovenstående metode kan bruges på inhomogene såvel som homogene ligniner af n'te orden, det eneste, som kan være en smule svært, er at gætte rigtigt. :)

 denne del forvirrer mig: 

100/3y'+y=0

Den fuldstændige løsning til en homogen førsteordens differentialligning er givet på formen

y(t)=Ce^(r·t),

hvor r er roden i det karakteristiske polynomium. Det karakteristiske polynomium skal du opskrive ud fra den homogene del af differentialligningen. Helt generelt vil en homogen førsteordens differentialligning af formen

Ay'+By=0

have det tilhørende karakteristiske polynomium

Ar+B=0.

Overføres dette på din specifikke opgave har vi altså, at det karakteristiske polynomium er givet ved

100/3r+1=0,

som løses for r=-3/100. Den homogene ligning har altså den fuldstændige løsning

y(t)=Ce^(-3/100·t)

 Hvordran bliver 100/3y  til 100/3r ?

 og hvordan kan du bare dele den op og sige: 100/3y'+y=0 og 100/3r+1=0. hvor kommer + 1 fra?

Jeg ved godt det er mange spørgsmål. JEg sprugte min lærer, som sagde at det ikke forventes at vi kan regne denne opgave uden brug af CAS -værktøj. Men er bare interesseret

Det er blot metode. Du kan bevise, at det holder, men det vil jeg ikke kede dig med. En inhomogen differentialligning skrevet på normeret form vil have et tilhørende karakteristisk polynomium, som kan løses for løsningerne til den homogene ligning. Det er så elegant, at en førsteordens differentialligning byder på en førstegradsligning, en andenordens differentialligning en andengradsligning, ... og en differentialligning af n'te orden byder på en ligning af n'te grad.

Eksempler:

Førsteordens differentialligning:

x'+3x=q(t), hvor q(t) blot er en funktion. 

Den tilhørende homogene differentialligning er da

x'+3x=0,

som har det karakteristiske polynomium

r+3=0.

Andenordens differentialligning:

2x''+3x-4=q(t)

så den homogene ligning følger som

2x''+3x-4=0

og det karakteristiske polynomium da bliver

2r²+3r-4=0

Differentialligning af n'te grad:

xⁿ-2x'=0, hvor n er antal mærker.

som i forvejen er homogen og har det karakteristiske polynomium

rⁿ-2r=0, hvor n nu er et tal (antallet af mærker)

Nu er det så bare at løse polynomierne, så har du den fuldstændige løsning til den homogene ligning. Det er super smart for pludselig er problemet ved at løse en differentialligning reduceret til at løse et simpelt polynomium, som vi ved, hvor mange løsninger har (jf. Gauss fundamentale algebraiske sætning om at et n'te grads polynomium altid vil have n komplekse rødder)

 Okay tak, det hjalp. Så man deler simpelthen differentialligningen op i flere "små"?

Det kommer an på, hvad du mener. Du deler løsningen af en differentialligning op i først en homogen og da en inhomogen ligning, men det er da vist det eneste.