produkt og sammensat funktion

Ved differentiation af et produkt som x·ln(x) kan man sætte f(x) = x og g(x) = ln(x)

a) y = x·ln(x) -x ⇒

dy/dx = (x·ln(x) -x)' = (x·ln(x))' -(x)' = (x)'·ln(x) + x·(ln(x))' -1 = 1·ln(x) + x·(1/x) -1

          = ln(x) + x/x -1 = ln(x) + 1 -1 = ln(x)

sætter jeg så f(x) til -1/2 sin(x) og g(x) til cos (X)

dy/dx = (1/2 - 1/2 cos(x) *cos(x)) +( 1/2  -1/2*sin(x) * -sin(x))  = 1/2 -1/2cos^2(x) + (1/2 + sin^2(x))

#2

Faktoren (1/2) er blot en konstant, som forbliver uændret:

(k·f(x))' = k·f'(x)

så

(-(1/2)·sin(x)·cos(x))' = -(1/2)·(sin(x)·cos(x))' = -(1/2)·( (sin(x))'·cos(x) + sin(x)·(cos(x))' )

     = -(1/2)·( cos(x)·cos(x) + sin(x)·(-sin(x)) )

     = -(1/2)·(cos(x)² - sin(x)²)

I funktionen i b) skal man også huske at differentiere leddet (1/2)x

det forstår jeg ikke... har du sat f(x) til sin(x) og g(x) til cos(x) ? og hvad med det sidste led er det bare noget jeg kan differentier til sidst og sætte ind? altså er det ikke med i produktreglen =

#4

Ja, netop. Jeg har differentieret produktet sin(x)·cos(x) ved hjælp af produktreglen.

Hele funktionen er

y = (1/2)x - (1/2)·sin(x)·cos(x)

De to led differentieres for sig, og i det sidste led gør man brug af produktreglen.

men facit skal give sin(x)^2

#6

Ja, du skal jo reducere færdig.

y = (1/2)x - (1/2)·sin(x)·cos(x) ⇒

dy/dx = (1/2) -(1/2)·cos(x)² + (1/2)·sin(x)²

Det skal så reduceres færdig.