newton impuls (til imorgen?

Hvis massen er konstant, gælder der jo d(m·v)/dt = m·dv/dt , så m·a = dp/dt

Den sidste ligning udtrykker åbenbart bevarelse af kinetisk energi i et stød; men du bliver nødt til at beskrive alle dine forudsætninger om, hvad der foregår.

i bogen står det i forbindelse med en rumsonde der passerer jupiter og derved bliver accelereret. jeg forstår man kan forkorte væk, så man har u1^2+u2^2=v1^2+v2^2. så kan man gange med -1: u1^2-u2^2=v1^2-v2^2. men så er det nærmest som om der ganges med minus 1 på u-siden. jeg skal fremlægge om det imorgen. måske jeg blot kan sige, det er fordi man har den positive retning i den retning rumsonden flyver efter at være accelereret?

#2

Hvad er u₁, u₂, v₁, og v₂ ?

Beklager hvis jeg ikke har gjort det klart. troede bare det var klart, når det handler om impuls.

Emnet er stød. To genstande støder samme altså. u1 er hastigheden af den ene genstanden før stødet v1 er hastigheden af samme genstand efter stødet. Det samme gælder med u2 og v2 for genstand 2.

i eksemplet med rumsonden er u1 jupiters hastighed før og u2 og v2 er hastighederne for rumsonden hhv. før og efter sammenstødet (stød her betyder blot interaktion ved tyngdekraften). man finder så v2 og antager v1 er konstant fordi jupiters masse er så stor.

1) m·v er jo impulsen p. Det, der står er så, at kraften er det samme som differentialkvotienten af impulsen:

F = dp/dt = d(m·v)/dt

Du kan bevise det ved at differentiere m·v:

F = d(mv)/dt = (dm/dt)·v + m·(dv/dt) = 0·v + m·a = m·a som jo er Newtons 2. lov.

Den gælder, hvis massen er konstant.

2) ½m₁u₁² + ½m₂u₂²  = ½m₁v₁² + ½m₂v₂² ⇔ ½m₁u₁² - ½m₁v₁² = ½m₂v₂² - ½m₂u₂²

⇔ ½m₁(u₁² - v₁²) = ½m₂(v₂² - u₂²) ⇔ m₁(u₁ - v₁)·(u₁ + v₁) = m₂(v₂ - u₂)·(v₂ + u₂)

Hvis vi nu dividerer med impulsbevarelsen: m₁u₁ + m₂u₂ = m₁v₁ + m₂v₂ ⇔ m₁u₁ - m₁v₁ = m₂v₂ - m₂u₂ ⇔

m₁(u₁ - v₁) = m₂(v₂ - u₂) får vi

u₁ + v₁ = u₂ + v₂

som nemt kan omskrives til din sidste ligning. Den gælder altså kun hvis der både er bevarelse af kinetisk energi og impuls, som ved et elastisk stød.

#5

Du mener vel, at v₁ = v₂, fordi Jupiters masse er så stor ?

#7 ja det var også det jeg skrev?

Men din sidste formel gælder kun for et éndimensionalt stød og kan derfor ikke bruges til en satellit om Jupiter. Hvis hastighederne skal være vektorer, er det meget mere indviklet.

Jo den gælder, fordi rumsonden efter accelerationen har retningen 180 grader i forhold til før. Altså endimensionelt :)

#7 tak for det skønne svar. de differentieringsudregninger er det blot regneregler? jeg har mat a, men kan ikke lige følge den. måske det er tidspunktet ;)

#8 Næh, du skrev "man finder så v₂ og antager v₁ er konstant fordi jupiters masse er så stor."

Det betyder, at du finder v₂ ud fra de tre andre (som du så må kende). v₁ må jo være konstant, fordi det er hastigheden af Jupiter før vekselvirkningen. (Hvis du synes, jeg er krakilsk, har du nok ret). :-)

#10 Så er det OK.

#11 Den eneste regneregel, jeg bruger er i linie 4, hvor jeg differentierer et produkt m·v, som en matematilærer ville skrive m(t)·v(t).