Matematik
funktion som kvadratrod
Jeg har været til den skriftlige eksam i matematik B på HF og stødt på en opgave, der virker umuligt at regne på lommeregneren.
her kommer opgaven: (se gerne vedhæftet billede for figuren samt beskrivelsen)
Figuren viser to stolper, der er anbragt i 10 meters afstand. Stolperne er 5 m og 8 m høje.
De skal forbindes med en wire fra toppen (P) af den ene stolpe til jorden i punktet Q og videre til toppen R af den anden stolpe.
Punktet Q befinder sig x meter til højere for den lave stolpe.
a) Gør rede for, at den samlede længde af wiren fra P til R via Q er givet ved
f(x) = (52+x2)1/2+(82+(10-x)2)1/2
hvor 0<x<10.
b) Bestem x, så den samlede længde af wiren er mindst muligt.
Min besvarelse til opgave a var:
Figurerne danner to retvinklede trekanter, hvor man skal beregne hypotenuserne i dem begge i forhold til de angivne kendte sider på 5 meter og x meter i den mindre trekant og 8 meter og 10−x meter i den store.
Funktionen består også af to pythagora’s sætninger ved formlen:
c2 = a2+b2
eller
c = √(a2+b2)
Begge hypotenuser danner længden af wiren tilsammen, og derfor lægges sammen ind i funktionen.
Opgave b, kunne jeg slet ikke få min TI-89 lommeregner til at differentiere og løse f '(x) = 0.
Man kunne sagtens også tegne funktionens graf og aflæse f '(x).
Er der nogle venlige sjæler, der kan hjælpe mig med at forstå opgaven så jeg ikke sidder fast ved lignede opgaver i fremtiden?
Svar #1
06. december 2013 af Andersen11 (Slettet)
De to dele af wiren er hver for sig hypotenuse i en retvinklet trekant, så Pythagoras giver hypotenusernes længder udtrykt ved kateternes længder:
|PQ|2 = 52 + x2
|QR|2 = 82 + (10-x)2 ,
så
f(x) = |PQ| + |QR| = [52 + x2]1/2 + [82 + (10-x)2]1/2
I b) skal man finde minimum for funktionen f(x), for 0 < x < 10.
Man har
f '(x) = x·[52 + x2]-1/2 - (10-x)·[82 + (10-x)2]-1/2
og ligningen
f '(x) = 0 giver derfor
x·[52 + x2]-1/2 - (10-x)·[82 + (10-x)2]-1/2 = 0 ,
hvor man ved at gange overkors får
[82 + (10-x)2]1/2 / [52 + x2]1/2 = (10-x) / x ,
der ved kvadrering giver
[82 + (10-x)2] / [52 + x2] = (10-x)2 / x2 .
Ganger man nu overkors igen, får man
82·x2 + (10-x)2·x2 = 52·(10-x)2 + x2·(10-x)2 , eller
39x2 + 500x -2500 = 0 .
Den positive rod i denne ligning er
x = 150/39
Skriv et svar til: funktion som kvadratrod
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.