Matematik

ligning med Sin

04. april 2014 af funked (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej SP

Er blevet bedt om at løse denne ligning

Sin(3x+π)=1/2 i intervallet (o,2π) Da jeg ikke føler mig helt hjemme i disse ligninger vil jeg høre om det er "lovligt" det jeg har gjort?

Sin(3x+π)=1/2

3x+π=Sin^-1(1/2)=π/6

x+π/3=π/18

Generel løsning:

x+π/3=π/18 + p·2π v x+π/3=π - π/18 + p·2π

x=π/18-π/3 + p·2π v x=π - π/18 - π/3 + p·2π

x=3,316 v x=8,203

Løsning:

x=3,316 Jeg kan ikke bruge den anden x-værdi da den ligger uden for intervallet (0,2π)

Brugbart svar (0)

Svar #1
04. april 2014 af Andersen11 (Slettet)

Det sidste, efter "Generel løsning" er forkert. Det er jo 3x+π der findes ved at benytte sin^-1() . Man har i stedet

3x+π = π/6 + p·2π ∨ 3x+π = π-π/6 + p·2π , p heltallig

hvoraf man så finder

3x = 7π/6 + p·2π ∨ 3x = 11π/6 + p·2π , p heltallig

og dermed

x = 7π/18 + p·2π/3 ∨ x = 11π/18 + p·2π/3 , p heltallig .

I intervallet [0;2π] finder man så løsningerne

x = 7π/18 , x = 19π/18 , x = 31π/18 , x = 11π/18 , x = 23π/18 , x = 35π/18

Brugbart svar (0)

Svar #2
04. april 2014 af mathon

       $\Normal\ \sin(3x+\pi )=\sin(3(x+\Delta x)+\pi )=\sin(3x+\pi+3\Delta x )$
når
           $3\Delta x=p\cdot 2\pi\; \; \; \; \; p\in \mathbb{Z}$
           $\Delta x=p\cdot \frac{2\pi}{3}\; \; \; \; \; p\in \mathbb{Z}$
samt
           $\Normal\ \sin(3x+\pi )=\sin(\pi -(3x+\pi) )=\sin(-3x )=-\sin(3x )$

hvoraf
$\Normal\ 3x+\pi=\sin^{-1}\left (\frac{1}{2} \right )=0,5236$
$\Normal\ x=\frac{0,5236-\pi }{3}+ p\cdot \frac{2\pi}{3}=-0,8727+ p\cdot \frac{2\pi}{3}$

som for p ∈ {1,2,3} giver:

$\Normal\ x=\left\{\begin{matrix} -0,8727+ 1\cdot \frac{2\pi}{3}=1,2217\\ -0,8727+ 2\cdot \frac{2\pi}{3}=3,3161 \\ -0,8727+ 3\cdot \frac{2\pi}{3}=5,4105 \end{matrix}\right.$

og
          $\Normal\ -\sin(3x )=\frac{1}{2}$

          $\Normal\ x =\frac{\sin^{-1}\left (-\frac{1}{2} \right )}{3}+p\cdot \frac{2\pi }{3}=-0,1745+p\cdot \frac{2\pi }{3}$

som for p ∈ {1,2,3} giver:

$\Normal\ x=\left\{\begin{matrix} -0,1745+ 1\cdot \frac{2\pi}{3}=1,9199\\ -0,1745+ 2\cdot \frac{2\pi}{3}=4,0143 \\ -0,1745+ 3\cdot \frac{2\pi}{3}=6,1087 \end{matrix}\right.$

Samlet løsning:

$x=\left\{\begin{matrix} 1,2217\\1,9199 \\ 3,3161 \\ 4,0143 \\5,4105 \\ 6,1087 \end{matrix}\right.$

Svar #3
04. april 2014 af funked (Slettet)

tak for hjælpen! Føler jeg har forstået det bedre nu, kunne ihvertfald regne den igennem og komme frem til de samme resultater

Skriv et svar til: ligning med Sin

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.