Har jeg forstået beviset for integralregnings hovedsætning korrekt?

Hej. Jeg skal bevise, at arealfunktionen er lig stamfunktion, eller at A(x) ' (arealfunktionen differentieret) svarer til f(x). 

Jeg forstår udemærket godt beviset frem til det punkt, hvor vi opskriver, at arealet fra et givent x til x + dx må ligge mellem to rektanglers arealer, nemlig "f(x) * dx" og "f(x+´dx) * dx". 

Det eksakte areal kan udtrykkes som A(x+dx) - A(x). Vi har da at ...

f(x) * dx < A(x+dx) - A(x) < f(x+´dx) * dx

... og vi dividerer med dx ....

f(x)  <  < f(x+´dx)

Er argumentet så, at vi "genkender" at hvis vi tager grænseværdien for begrebet   når dx -> 0, så fremkommer A'(x)? Kan jeg godt formulere det sådan til fx mundtlig eksamen? Og er argumentet så yderligere, at hvis jeg tager grænseværdien for x -> 0 af begrebet mellem ulighederne, så skal jeg gøre det samme med begrebet til venstre for ulighederne (f(x)) og begrebet til højre for ulighederne (f(x+dx)) ?? 

Hvis ja, så har jeg styr på det, for så bliver A'(x) "klemt" mellem f(x) og f(x) hvorfor beviset er fuldført.