6. gradspolynomium

Er konstanterne korrekte? Du har både 0,0144 og 0,144 ?

Hvordan er uligheden fremkommet? Der er tale om en rational funktion, en brøk mellem et 3.-gradspolynomium i r² og et 2.-gradspolynomium i r² .

Det kan det godt. Du kan indføre x = r² x≥0 hvorved du halverer potenserne. Desuden er den delvis faktoriseret, hvilket letter arbejdet.

#1

Beklager. Det er rettet.

Udtrykket stammer fra følgende formel:

F_T/(s·r²·ω_n²) = √((1 + (2·ζ·r)²)/((1 - r²)² + (2·ζ·r)²)),

hvor

s = 0,2

ζ = 0,06

ω_n = 64,5497

Jeg skal bestemme r, således F_T maks. kan blive 2500.

Find rødderne i polynomiet

        p(x) = 0,0144x³ + x² -9·(x² - 1,9856x +1)

Den søgte ulighed er

        p(x) ≥ 0 , med bibetingelsen x² - 1,9856x +1 > 0 ,

og

        p(x) ≤ 0 med bibetingelsen x² - 1,9856x +1 < 0 ,

hvor x = r² .

Man finder de tre rødder

        x₁ = 0.76579605080917

        x₂ = 1.47500892083696

        x₃ = 553.3147505839094

#4

Jeg har svært ved at se, hvordan du kom frem til både p(x) og ulighederne i #4. Vil du forklare det?

Man skal løse uligheden

        9 ≤ x²·(1 + 0,0144x) / ((x-1)² + 0,0144x) , for x ≥ 0 .

Da (x-1)² + 0,0144x ≥ 0 , har vi

       x²·(1 + 0,0144x) ≥ 9·((x-1)² + 0,0144x) = 9·(x² -1,9856x +1) 

eller

        p(x) = 0,0144·x³ -8·x² +17,8704·x -9 ≥ 0 , x ≥ 0 .

Da (x-1)² + 0,0144x ≥ 0 er der ingen grund til at dele uligheden op.

#7

Nu spørger jeg nok lidt dumt, men hvorfor skriver du "for x ≥ 0" ved første udtryk? Hvad med x < 0?

Skulle det i øvrigt ikke hedde (1-x)² i stedet for (x-1)²?

#8

Betragtningerne begrænses til x ≥ 0 , fordi x = r² .

Du bør også være bekendt med, at (1-x)² = (x-1)² .

#9

Du har ret, men hvordan kan du så bare konkludere, at (x-1)² + 0,0144x ≥ 0? Det må forhåbentlig ikke være lig 0, for ellers dividerer du en brøk med 0.

#10

Da x ≥ 0 , er 0,0144x ≥ 0, og dermed er (x-1)² + 0,0144x ≥ 0 . Desuden kan (x-1)² og 0,0144x ikke begge være = 0 for samme x, så derfor gælder der faktisk (x-1)² + 0,0144x > 0 for alle x ≥ 0 .

Polynomiet (x-1)² + 0,0144x har negativ diskriminant og har derfor ingen reelle rødder.

#11

Nemlig, men jeg kan ikke helt se, hvorfor vi laver denne her mindre 'funktionsanalyse'. Hvad nu hvis (x-1)² + 0,0144x gav et negativt tal på en eller anden måde (jeg ved godt, at det ikke kan lade sig gøre), men ville man ikke bruge samme fremgangsmåde som den i #7?

#12

Hvis (x-1)² + 0,0144x < 0 , skal man så vende uligheden, når man ganger på begge sider med
(x-1)² + 0,0144x , hvilket var, hvad jeg lagde op til i #4. Siden indså jeg, at da (x-1)² + 0,0144x > 0 for alle x, var der alligevel ingen grund til at splitte uligheden op.

Da man søger løsningen til p(x) ≥ 0 , x ≥ 0 , hvor x = r² , har man så med rødderne i #5, at

        0.875097738 ≤ r ≤ 1.214499453   ∨   r ≥ 23.52264336

#13

Ja. Nu er vi nået til det punkt, hvor 3. gradspolynomiet p(x) skal løses. Kigger vi på #4, skriver du bl.a., at:

x² - 1,9856x +1 > 0 for at p(x) ≥ 0,

men hvis det er tilfældet, så giver -9·(x² - 1,9856x +1) et negativt tal. Hvor ved du så fra, at p(x) i sidste ende vil give enten 0 eller et positivt tal?

#15

Det drejer sig om at løse uligheden (se #7):

        9 ≤ x²·(1 + 0,0144x) / ((x-1)² + 0,0144x) , x ≥ 0 .

Da (x-1)² + 0,0144x > 0 for alle x, er denne ulighed ensbetydende med

       x²·(1 + 0,0144x) ≥ 9·((x-1)² + 0,0144x) , eller

       p(x) = 0,0144·x³ -8·x² +17,8704·x -9 ≥ 0 , x ≥ 0 .

Der burde ikke være nogen mystik i det.

Det er vel klart, at når (x-1)² + 0,0144x > 0 , er -9·((x-1)² + 0,0144x) < 0 .

Se på #7 i stedet for #4.

Man løser uligheden p(x) ≥ 0 ved at bemærke, at p(x) har 3 forskellige reelle rødder, og at koefficienten til x³ i p(x) er positiv. Derfor har p(x) fortegnsvariationen - 0 + 0 - 0 + , så p(x) er > 0 mellem de to mindste rødder, og igen positiv efter den største rod.

#16

Jeg er med så langt, at vi har et 3. gradspolynomium. Det irriterer mig bare lidt, at der er en ulighed i regning, dvs. at p(x) ≥ 0 skal være opfyldt.

#17

Det er dig selv, der ønsker at løse denne ulighed. Genlæs #16.

#18

Ja, men ledte efter en generel procedure for at løse en ulighed. Men det må så være, at man starter med at løse ligningen for p(x) = 0 og derefter finde ud af, hvad x må være ud fra polynomiets forløb. Er det korrekt? Så hvis p(x) ≥ 0 skal være opfyldt og at polynomiets forløb er som den i #16, må x gå fra rod nr. 1 til rod nr. 2 og fra rod nr. 3 til uendelig.

#19

Man løser en ulighed af formen p(x) ≥ 0 ved at løse den tilsvarende ligning p(x) = 0 og så benytte kontinuitetsegenskaber ved p(x). Her benyttes, at p(x) er et polynomium af grad 3 med positiv koefficient til x³, og som har 3 forskellige reelle rødder. Så ved man, at fortegnsvariationen er som angivet i #16. Hvis et polynomium med reelle koefficienter af grad n har n forskellige reelle rødder, skifter det fortegn hver gang ved en af rødderne (n ≥ 1) .