Matematik

Bestemt integrale, tricky one!

14. maj 2014 af ThereseMoreau (Slettet) - Niveau: A-niveau

Jeg har fået følgende bestemte integrale, som jeg skal bestemme ifm. et eksamensspørgsmål:

$\frac{1}{4 \pi }\cdot \int_{-\pi }^{3\pi } (2sin(x)+3) dx$

Nu er mit spørgsmål, hvad er det korrekte resultat? Jeg får enten 3 eller 6.

Jeg har prøvet følgende to muligheder:

1. mulighed: Resultatet bliver 6. Jeg sætter 2 udenfor integraletegnet, således står der:

$\frac{1}{4 \pi }\cdot 2 \cdot \int_{-\pi }^{3\pi } (sin(x)+3) dx$

Da regnes integralet ved:

$\frac{1}{4 \pi }\cdot 2 \cdot \left ( \left [ \right-cos(x) ]_{-\pi }^{3\pi } + \left [ \right 3x ]_{-\pi }^{3\pi } \right )$

2. mulighed: Resultatet bliver 3. Jeg lader 2 blive i integralet, således bevarer jeg det oprindelige integrale. Da regnes integralet ved:

$\frac{1}{4 \pi } \cdot \left ( \left [ \right 2\cdot-cos(x) ]_{-\pi }^{3\pi } + \left [ \right 3x ]_{-\pi }^{3\pi } \right )$

Brugbart svar (1)

Svar #1
14. maj 2014 af mathon

$\! \! \! \! \frac{1}{4\pi }\cdot \left [3x-2\cdot \cos\left ( x \right ) \right ]_{-\pi }^{3\pi }=\frac{1}{4\pi }\cdot\left (3\cdot 3\pi -2\cdot \cos\left ( 3\pi \right )-\left ( 3\cdot \left (-\pi \right )-2\cdot \cos\left ( -\pi \right ) \right ) \right )=$

$\frac{1}{4\pi }\cdot\left ( 9\pi +2-\left ( -3\pi -2 \right ) \right )=\frac{1}{4\pi }\cdot\left ( 12\pi +4 \right )=3+\frac{1}{\pi }$

Svar #2
14. maj 2014 af ThereseMoreau (Slettet)

Okay, jeg ser pointen, tak! Hvilket sætning giver os den her metode?

Brugbart svar (0)

Svar #3
14. maj 2014 af mathon

rettelse:
$\frac{1}{4\pi }\cdot\left ( 9\pi +2-\left ( -3\pi {\color{Red} +}2 \right ) \right )=\frac{1}{4\pi }\cdot 12\pi =3$

Brugbart svar (0)

Svar #4
14. maj 2014 af Amril (Slettet)

I dit første forsøg begår du følgende fejl;

faktoren 2 bliver ikke multipliceret med sin(x) + 3 men udelukkende med sin(x).

At du sætter den udenfor integralet medfører, at du inddrager 3 i produktet.

Hvis du gerne vil sætte 2 udenfor integralet, så har du

$\frac{2}{4\pi } \cdot \int_{-\pi }^{3\pi }(sin(x) + \frac{3}{2}) dx$

Brugbart svar (0)

Svar #5
15. maj 2014 af Andersen11 (Slettet)

Funktionen sin(x) er periodisk med perioden 2π , og integralet af sin(x) over 1 periode er lig med 0:

$\int_{0}^{2\pi }\sin x\, \textup{d}x=\left [ -\cos x \right ]_{0}^{2\pi }=0$

Det aktuelle integral strækker over 2 hele perioder for funktionen sin(x) og man har derfor

$\frac{1}{4\pi }\cdot \int_{-\pi }^{3\pi }\left ( 2\sin x+3 \right )\, \textup{d}x=\frac{1}{4\pi }\cdot \int_{-\pi }^{3\pi }3\, \textup{d}x=\frac{3}{4\pi }\cdot \left ( 3\pi -(-\pi ) \right )=\frac{3\cdot 4\pi }{4\pi }=3$

Svar #6
15. maj 2014 af ThereseMoreau (Slettet)

Nu er jeg stået af, hvad mener du med "Funktionen sin(x) er periodisk med perioden 2π"? Jeg har aldrig hørt det udtryk før og jeg kan ikke umiddelbart finde det i nogle af mine bøger eller vores undervisningsvideoer, er der et sted jeg kan læse om det eller se en video om det?

Brugbart svar (0)

Svar #7
15. maj 2014 af Andersen11 (Slettet)

Det bør da være velkendt, at både sin(x) og cos(x) er periodiske funktioner med perioden 2π . Dette betyder, at det for alle x gælder, at

sin(x+2π) = sin(x) , og

cos(x+2π) = cos(x) .

Brugbart svar (0)

Svar #8
15. maj 2014 af mathon

om ikke andet
gælder
sin(x+y) = sin(x)·cos(y) + cos(x)·sin(y)

             cos(x+y) = cos(x)·cos(y) - sin(x)·sin(y)
som for
y = 2π
giver:
             sin(x+2π) = sin(x)·cos(2π) + cos(x)·sin(2π) = sin(x)·1 + cos(x)·0 = sin(x)

             cos(x+2π) = cos(x)·cos(2π) - sin(x)·sin(2π) = cos(x)·1 - sin(x)·0 = cos(x)

Skriv et svar til: Bestemt integrale, tricky one!

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.