Matematik

Projektion af en vektor på en anden vektor

24. maj 2014 af guli92 (Slettet) - Niveau: A-niveau

En linje l går gennem to punkter A(1,5) og B(9,17) .

a) Bestem en parameterfremstilling for linjen l.

LØSNING: [[x][y]]=[[1][5]]+t*[[8][12]] ? [[x=8*t+1][y=12*t+5]]

b) Bestem koordinatsættet til projektionen af punktet P(-10,21) på linjen l.

Har brug for hjælp til denne opgave. Jeg kan ikke helt gennemskue, hvordan den skal løses. Skal jeg finde vektor BP og derefter projicerer vektor BP på linjen ls retningsvektor AB?

Brugbart svar (1)

Svar #1
24. maj 2014 af SuneChr

Lad $\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}=\binom{2}{3}$ og lad

a^ (a tværvektor) = (- 3 ; 2) være retningsvektor for linien gennem P og vinkelret på l .
Løs da ligningerne, som de to parameterfremstillinger repræsenterer.

Brugbart svar (1)

Svar #2
24. maj 2014 af mathon

En retningsvektor r₁ for l er vektoren

$\vec{r}_1=\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix} 9-1\\17-5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 8\\12 \end{pmatrix}=4\cdot \begin{pmatrix} 2\\3 \end{pmatrix}=4\cdot \vec{r}$

hvor
$\vec{r}=\begin{pmatrix} 2\\3 \end{pmatrix}$ anvendes i det følgende.

     l er linjen gennem A(1,5) med retningsvektor r
og
     som, når P(x,y) er et vikårligt punkt på l
     opfylder
                        $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+t\cdot \vec{r}\; \; \; \; \; t\in \mathbb{R}$

                        $l\! \! :\; \; \; \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\5 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}2\\3 \end{pmatrix}$

Brugbart svar (1)

Svar #3
24. maj 2014 af mathon

$\widehat{\overrightarrow{r}}=\begin{pmatrix} -3\\ 2\end{pmatrix}$ er retningsvektor for linjen m gennem P(-10,21) vinkelret på l.

$m\! \! :\; \; \; \overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OP}+s\cdot \widehat{\overrightarrow{r}}\; \; \; \; \; s\in \mathbb{R}$

$m\! \! :\; \; \; \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-10\\21 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}-3\\2 \end{pmatrix}$

projektionspunktet opfylder
således:
x=1+2t=-10-3s
y=5+3t=21+2s

dvs
$\! \! \! \! \! \! \! \! \! 2t+3s=-11\\3t-2s=16$

Brugbart svar (1)

Svar #4
24. maj 2014 af mathon

eller ved eliminering at s og t

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! 3x-2y=-7\\2x+3y=43$

Svar #5
24. maj 2014 af guli92 (Slettet)

Kan man ikke bruge formlen for en projektion her?

Altså hvorfor finder i to parameterfremstilinger?

Svar #6
24. maj 2014 af guli92 (Slettet)

Jeg har fundet ud af, at jeg skal projicere punktet P på linjen l.

Dette gøres ved at finde skæringspunktet mellem linjen l og linjen m, hvor linjen m så er vinkelret på linjen l.

Jeg har fået koordinatsættet af projektionen til P på l til (-1.25,0.5). Er det rigtigt?

Brugbart svar (0)

Svar #7
24. maj 2014 af mathon

#6
Nej det er ikke korrekt!

Se #4

Svar #8
24. maj 2014 af guli92 (Slettet)

#7
#6
Nej det er ikke korrekt!

Se #4

Hvorfor er det, at du siger 4 gange retningsvektorens koordinater? Det forstår jeg ikke?

Altså kan jeg ikke bare sige, at retningsvektorens tværvektor er retningsvektoren for den nye linje m, som går gennem punktet P(-10,21)? hvis jeg ikke kan sige det, hvorfor så?

Güli

Brugbart svar (0)

Svar #9
24. maj 2014 af mathon

Jo selvfølgelig kan du det:

$l\! \! :\; \; \; \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\5 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} 8\\12 \end{pmatrix}$

$m\! \! :\; \; \; \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -10\\21 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} -12\\8 \end{pmatrix}$

x=1+8t=-10-12s
y=5+12t=21+8s

Svar #10
24. maj 2014 af guli92 (Slettet)

Og når jeg gør det, så får jeg altså skæringspunktet til S(0.5,-1,25).

Før skrev jeg koordinaterne op forkert det har jeg lige lagt mærke til :(

Brugbart svar (0)

Svar #11
25. maj 2014 af mathon

$\! \! \! \! \! \! \! \! I\! \! :\;\; \;\; 8t+12s=-11\\ III\! \! :\;12t-8s=16; \; \; \; ganges \; med\; \frac{3}{2}\; og \; kaldes\; IV$

$\! \! \! \! \! \! \! \! I\! \! :\;\; \; 8t+12s=-11\\ IV\! \! :\;18t-12s=24\; \; \; \; I\; og\; IV\; adderes$

26t=13
$t=\frac{1}{2}$ indsat i $l\! \! :\; \; \; \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\5 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} 8\\12 \end{pmatrix}$

                                  $\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\5 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} 8\\12 \end{pmatrix}$
    giver projektionspunktet

                        $\begin{pmatrix} x_p\\y_p \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\5 \end{pmatrix}+\frac{1}{2}\cdot \begin{pmatrix} 8\\12 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\5 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 4\\6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} {\color{Red} 5}\\{\color{Red} 11} \end{pmatrix}$

Brugbart svar (0)

Svar #12
28. september 2015 af Toffiie (Slettet)

Hejsa :)
Kan godt se det er meget længe siden, denne tråd kørte, men jeg håber virkelig at der er nogle som alligevel vil være sød at forklare mig, hvorfor der ganges med 3/2 i #11 step III, for kan ikke rigtigt se hvorfor dette, når jeg har fået det samme resultat som i #9?
På forhånd tak :)

Brugbart svar (0)

Svar #13
29. april 2017 af Fymalinjen (Slettet)

#11

Hvorfor ganger du med 3/2?

Hvorfor er t=1/2?

Brugbart svar (1)

Svar #14
30. april 2017 af Fymalinjen (Slettet)

mathon?

Skriv et svar til: Projektion af en vektor på en anden vektor

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.