Konvergens radius

a) Se på |a_n+1/a_n| = (2(n+1))!/((n+1)!)² · (n!)²/(2n)! = (2n+2)(2n+1)/(n+1)² = 2·(2n+1)/(n+1) → 4 for n → ∞ .

b) Benyt, at 1/(1-z) = ∑^∞_n=0 zⁿ , |z| < 1 .

Tak, prøver nu.

Til spørgsmål b: Er det "lovligt" i min omskrivning at flytte om på summationstegn og integrale tegnet. Altså, jeg omskriver det indre i integralet til rækkeform, og så flytter jeg integralet indenfor summationstegnet og integrerer leddet vha. det ovenstående integrale?

Også til spørgsmål (b): Jeg er i tvivl om, hvordan man går fra et integral til en sum?

Jeg går ellers ud fra at princippet i opgaven er, at man ved at benytte tippet du gav skal omskrive 

   til        hvoraf resultatet følger.  Jeg har svært ved omskrivningen. 

Man har

       

Hvorfor er det helt præcist, man må bytte rundt på integral og sumtegn i andet lighedstegn?

#6

Det er tilladt for |x|·sin²(θ) < 1 , dvs for |x| < 1 , da rækken er uniformt konvergent på ethvert afsluttet interval indeholdt i konvergensintervallet for rækken. Man kan da ombytte integration og summation.

Men er konvergensintervallet ikke kun (-1,1)? Og vi integrerer jo over (0,π/2)? 

#8

Hvis x er et fast tal med |x| < 1 , er rækken uniformt konvergent som række i sin(θ) på [0;1] og dermed som række i θ på [0;π/2] .

Mange tak for svaret!

Er der nogen som ved hvodan starte man med opgave 2. Skal man kigge på euler

#11

Se https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=1485153

;))

Ok
Hvordan viser man (b) jeg ved at punktvis konvergens af en fourierrække mod en funktion f i et punkt x betyder at der at fourierrækkens afsnit evalueret i x sn(f(x)) g °ar mod f(x) for n går mod oo. Denne konvergens bestemmes via den givne norm i det metriske rum for funktionsværdierne. En fourierrække kaldes punktvis konvergent hvis sn(f(x)) går mod f(x) for n går mod oo for alle x € [-pi,pi].

I samme opgavesæt opgave 3 (a):

Når man skal vise noget er en metrik skal der gælde at

 

Men gælder dette ikke også for x=0 i dette tilfælde?

Jeg beder også om hjælp til opgave 3(a) :-) 

#15, #16

Man skal vise, at || • ||_* er en norm på vektorrummet E, dvs at

        1) || f ||_* ≥ 0 for alle f ∈ E, og at der gælder = 0 , hvis og kun hvis f = 0 (nulvektoren i E)

        2) || λf ||_* = |λ|·|| f ||_* , for alle λ ∈ R og f ∈ E

        3) || f + g ||_* ≤ || f ||_* + || g ||_* for alle f , g ∈ E .

Her er defineret   || f ||_* = sup { x·|f(x)| | x ∈[0;1] } , hvor f: [0,1] → R er en kontinuert funktion .

Man kan benytte, at en kontinuert funktion på et afsluttet interval har et maksimum.

Tak :) Men er i tvivl om, hvordan man decideret beviser, at den opfylder de 3 betingelser. Altså skal man vise det for x*|f(x)| eller mere tænke på det som et maksimum for denne funktion? Jeg synes det er lidt abstrakt. 

Men gælder nr. 1 ikke også hvis x=0? Og hvad skal man bruge at funktionen har maksimum til?

#18

1) For den definerede || • ||_* har man, at

        0 ≤ || f ||_* ≤ max(|f(x)|) .

Hvis || f ||_* = 0 , må der for ethvert x ∈ [0;1] gælde, at x·|f(x)| = 0 , dvs at f(x) = 0 for alle x ∈ [0;1] (kontinuiteten sikrer også, at f(0) = 0).

2) Burde ikke volde nogen problemer.

3) || f + g ||_* = sup{x·|f(x)+g(x)|} ≤ sup{x·|f(x)|+x·|g(x)|} = || f ||_* + || g ||_*

Når f(x) er kontinuert, er x·|f(x)| kontinuert på [0;1] og sup{x·|f(x)|} er derfor lig med max{x·|f(x)|} , som er et endeligt (ikke-negativt) reelt tal.