Matematik

Arealmidtpunkt og volumen

17. juni 2014 af Kachoot (Slettet) - Niveau: A-niveau

Jeg har skitseret punktmængden M så den ser således ud:

Jeg ved at arealmidtpunktet kan beregnes ved at tegne en tynd strimmel ind på arealet afgrænset af de to grafer hvor

x^~ = x

y^~ = y/2

bredde = dx

længde = y

areal = dA = y dx

masse = dm = δ dA

M_x = ∫ y^~dm

M_y = ∫ x^~ dm

M = ∫ dm

x^- = M_y/ M

y^-= M_x / M

Men hvordan definerer jeg y? Er det f(x) - g(x) ?

Brugbart svar (1)

Svar #1
17. juni 2014 af Andersen11 (Slettet)

Man skal beregne koordinatsættet til massemidtpunktet for den plane figur D, der begrænses af de to funktioners grafer. Man har her

<r_CM> = ∫∫_D r dxdy / ∫∫_D dxdy .

De to grafer skærer hinanden i x = 0 og x = 2. Man har så

$\left \langle \textup{\textbf{r}}_{CM} \right \rangle=\frac{\int_{0}^{2}\int_{x^{2}-x}^{x}\left [ x,y \right ]\, \textup{d}y\, \textup{d}x}{\int_{0}^{2}\int_{x^{2}-x}^{x}\, \textup{d}y\, \textup{d}x}=\frac{\int_{0}^{2}\left [ 2x^{2}-x^{3},x^{3}-\frac{x^{4}}{2} \right ]\, \textup{d}x}{\int_{0}^{2}(2x-x^{2})\, \textup{d}x}\newline\newline =\frac{\left [ \frac{4}{3},\frac{4}{5} \right ]}{\frac{4}{3}}=\left [ 1,\frac{3}{5} \right ]$

Svar #2
17. juni 2014 af Kachoot (Slettet)

Hvad er r? En vektor?

Brugbart svar (1)

Svar #3
17. juni 2014 af Andersen11 (Slettet)

Ja, r_CM er stedvektoren til massemidtpunktet, og r er stedvektoren [x,y] til et punkt i figuren.

Svar #4
17. juni 2014 af Kachoot (Slettet)

Hvad indsætter på x og y´s plads? 1 og ?

Brugbart svar (0)

Svar #5
17. juni 2014 af Andersen11 (Slettet)

Der indsættes ikke noget. Man udregner dobbeltintegralerne, som de er skrevet op. I integralerne løber x fra 0 til 2 , mens y løber fra x²-x til x .

Svar #6
17. juni 2014 af Kachoot (Slettet)

Ok men er den metode jeg tænkte på at anvende så helt ude i hampen?

Brugbart svar (0)

Svar #7
17. juni 2014 af Andersen11 (Slettet)

Det er svært at gennemskue, hvordan du egentlig vil beregne CM med din "strimmel" i #0.

Svar #8
17. juni 2014 af Kachoot (Slettet)

Tænkte noget i retning af det her:

Svar #9
17. juni 2014 af Kachoot (Slettet)

Forestiller mig at der dannes en kegle ved 360 graders rotation omkring y-aksen og at volumen så bestemmes ved

$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^{2}\cdot h$

Brugbart svar (0)

Svar #10
17. juni 2014 af Andersen11 (Slettet)

Det er jo det samme som i #1.

Brugbart svar (1)

Svar #11
17. juni 2014 af Andersen11 (Slettet)

Nej, der er ikke tale om en kegle. Man kan benytte Pappus-Guldins teorem til at beregne rumfanget af omdrejningslegemet.

Da arealet af figuren D er A(D) = 4/3 , og tyngdepunktet ved omdrejningen bevæger sig stykket d = 2π·1 , er rumfanget af omdrejningslegemet da

V = (4/3)·2π·1 = 8π/3 .

Svar #12
17. juni 2014 af Kachoot (Slettet)

Hvordan ved man at R = 1 ?

Brugbart svar (1)

Svar #13
17. juni 2014 af Andersen11 (Slettet)

Hvis vi betragter en figur begrænset af graferne for de to funktioner f(x) og g(x) og de to linier
x = a og x = b , hvor f(x) ≥ g(x) på intervallet [a;b], har vi

$x_{CM}=\frac{\int_{a}^{b}\int_{g(x)}^{f(x)}x \, \textup{d}y \, \textup{d}x}{\int_{a}^{b}\int_{g(x)}^{f(x)}\, \textup{d}y\, \textup{d}x}=\frac{\int_{a}^{b}x\cdot (f(x)-g(x))\, \textup{d}x}{\int_{a}^{b}(f(x)-g(x))\, \textup{d}x}$

$y_{CM}=\frac{\int_{a}^{b}\int_{g(x)}^{f(x)}y \, \textup{d}y \, \textup{d}x}{\int_{a}^{b}\int_{g(x)}^{f(x)}\, \textup{d}y\, \textup{d}x}=\frac{\int_{a}^{b}\frac{1}{2}\cdot (f(x)^{2}-g(x)^{2})\, \textup{d}x}{\int_{a}^{b}(f(x)-g(x))\, \textup{d}x}$

Brugbart svar (1)

Svar #14
17. juni 2014 af Andersen11 (Slettet)

#12

Det er x-koordinaten for massemidtpunktet.

Svar #15
17. juni 2014 af Kachoot (Slettet)

#13
Hvis vi betragter en figur begrænset af graferne for de to funktioner f(x) og g(x) og de to linier
x = a og x = b , hvor f(x) ≥ g(x) på intervallet [a;b], har vi

$x_{CM}=\frac{\int_{a}^{b}\int_{g(x)}^{f(x)}x \, \textup{d}y \, \textup{d}x}{\int_{a}^{b}\int_{g(x)}^{f(x)}\, \textup{d}y\, \textup{d}x}=\frac{\int_{a}^{b}x\cdot (f(x)-g(x))\, \textup{d}x}{\int_{a}^{b}(f(x)-g(x))\, \textup{d}x}$

og

$y_{CM}=\frac{\int_{a}^{b}\int_{g(x)}^{f(x)}y \, \textup{d}y \, \textup{d}x}{\int_{a}^{b}\int_{g(x)}^{f(x)}\, \textup{d}y\, \textup{d}x}=\frac{\int_{a}^{b}\frac{1}{2}\cdot (f(x)^{2}-g(x)^{2})\, \textup{d}x}{\int_{a}^{b}(f(x)-g(x))\, \textup{d}x}$

Ok nu kan jeg godt se at det er det samme. Så var jeg heller ikke helt galt på den.

Brugbart svar (1)

Svar #16
17. juni 2014 af Andersen11 (Slettet)

Rumfanget kan naturligvis også beregnes ved at dreje funktionerne omkring y-aksen. Hvis vi lægger 1/4 til hver af funktionerne f(x) og g(x) , opnår vi, at deres grafer er over x-aksen. Vi har så

V = 2π · ₀∫² x·(f(x)+(1/4)) dx - 2π · ₀∫² x·(g(x)+(1/4)) dx

= 2π · ₀∫² x·f(x) dx - 2π · ₀∫² x·g(x) dx

= 2π · ₀∫² x² dx - 2π · ₀∫² (x³ - x²) dx

= 2π · ₀∫² (2x² - x³) dx

= 2π · [2x³/3 - x⁴/4]²₀

= 2π · 2⁴ · (1/3 - 1/4)

= 2π · 16 / 12

= 8π/3

Svar #17
17. juni 2014 af Kachoot (Slettet)

Tak for svarene.

Skriv et svar til: Arealmidtpunkt og volumen

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.