Matematik

Højden på en tetraeder?

12. august 2014 af SofieWerner (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hejsa,

Hvordan finder man højden på en tetraeder figur (i midten af figuren) når man kun kender sidelængden?

Tetraeden er opbygget af regulære trekanter så alle sider er 50 cm

Hvis det et til nogen hjælp er opgaven vedhæftet.

På forhånd tak :)

Vedhæftet fil: mat2år1.docx

Brugbart svar (0)

Svar #1
12. august 2014 af Soeffi

Højden i en (regulær) tetraede er (√2/√3)•a, hvor a er sidelængden, dvs.

Svar: Højden er (√2/√3) • 50 cm = 40.8 cm

Brugbart svar (0)

Svar #2
12. august 2014 af Andersen11 (Slettet)

Betragtningerne for at finde tetraederets højde h udtrykt ved dets sidelængde a kan for eksempel være følgende:

De fire hjørner, A, B, C, D i et regulært tetraeder med sidelængde a ligger alle på en kugle, tetraederets omskrevne kugle. Tre af hjørnerne, for eksempel A, B og C danner en plan ligesidet trekant med sidelængden a. Planen, der indeholder trekant ABC, skærer den omskrevne kugle i en cirkel, der også er den omskrevne cirkel for trekant ABC. Radius for den omskrevne cirkel for den ligesidede trekant ABC er da

r = a · (√3)/2 · (2/3) = a · (√3) / 3 ,

idet centrum for den omskrevne cirkel i en ligesidet trekant er højdernes, medianernes, og vinkelhalveringsliniernes fælles skæringspunkt, og idet medianerne i en trekant skærer hinanden i stykker, der forholder sig som 2:1 .

Denne radius r er også katete i en retvinklet trekant, hvis anden katete er tetraederets højde h, og hvis hypotenuse er tetraederets sidelængde a. Vi har derfor, af Pythagoras,

a²/3 + h² = a² ,

hvor man finder

h = a · √(2/3)

Brugbart svar (0)

Svar #3
12. august 2014 af mathon

"Hvordan finder man højden?"

Højden i en sideflade
                                         $h_s=\sin(60^{\circ})\cdot s=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot s$

Radius i bundtrekantens indskrevne cirkel
er
                                         $r=\tan\left ( \frac{v^{\circ}}{2} \right )\cdot \left ( \frac{3s-2s}{2} \right )=\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \frac{s}{2}=\frac{1}{2\sqrt{3}}\cdot s$

Af Pythagoras følger
tetraederhøjden h

$h^2=h{_{s}}^{2}-r^2=\left (\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot s \right )^2-\left (\frac{1}{2\sqrt{3}}\cdot s \right )^2=\frac{9}{12}s^2-\frac{1}{12}s^2=\frac{9-1}{12}s^2=\frac{2}{3}s^2$

$h=\sqrt{\frac{2}{3}}\cdot s=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\cdot s$

Svar #4
12. august 2014 af SofieWerner (Slettet)

Mange tak, det var en stor hjælp! :)

Skriv et svar til: Højden på en tetraeder?

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.