Matematik
Er reelle tal overtællelig?
Jeg ønsker at vise, at R er overtællelig, og at #(0,1) = #R, hvor # betegnes en kardinalitet. [I hint står der, at jeg skal finde en bijektion f: (0, 1) → R]. Bemærk, at intervallet (0, 1) er overtællelig. Mængderne X og Y siges at have samme kardinaltal hvis og kun hvis f: X → Y er bijektiv.
Her vil jeg definere f(x) = (1/x) - 1/(x - 1). Det ser ret kompliceret ud at vise om den overhovedet er injektiv. Men det vil jeg springe over. Hvordan viser man så om den er surjektiv? Den inversefunktion tager ret lang tid således at man man sige om f(f-1(x)) = x idet f-1(x) ∈ (0, 1). Har I så andre ideer til hvad funktionen kan defineres for nemhedens skyld?
Svar #2
29. september 2014 af LeonhardEuler
Lad M betegne mængden af de uendelige decimalbrøker 0,d1d2...,
Du behøver som sagt kun at bevise at delmængden M ikke er numerabel, for da vil R ikke være numerabel, hvis R var numerabel vil enhver delmængde være numerabel.
Antag nu at vi har en uendelig følge a1, a2, ... , an , ... af elementerne fra M
Du skal vise at denne følge ikke indeholder alle elementerne fra mængden M
De første elementer kunne se sådan ud:
a1 = 0,123456789...
a2 = 0,234567890...
a3 = 0,345678901...
Man bestemmer nu en uendelig decimalbrøk T = 0,c1c2...cn... på følgende måde
Det første ciffer efter kommaet sætter man lig med for eksempel 5 således T≠a1. Det næste ciffer udvælges så det er forskellige fra 3 -for eksempel 8 således T≠a2 ovs.
Svar #3
29. september 2014 af LeonhardEuler
Ved at fortsætte denne "algoritme" opnår man et tal T, som tilhører mængden M, men tallet T optræder ikke i følgen a1,a2 ... an ...
dvs. ∀n T ≠ an
Hermed er er det vist at mængden af de reelle tal ikke er numerabel.
Dette er et såkaldt modstridsbevis :-)
Skriv et svar til: Er reelle tal overtællelig?
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.