Matematik

asymptotisk stabilt

06. oktober 2014 af ab19888 (Slettet) - Niveau: A-niveau

Jeg har et differentialligningssystem, som jeg skal vise er asymptotisk stabilt hvis og kun hvis matricen

A = $A\bigl(\begin{smallmatrix} a &b \\ c&d \end{smallmatrix}\bigr)$ opfylder at det(A) >0 og tr(A) < 0

Og differentialligningssystemet er:

$\dot{x}=\bigl(\begin{smallmatrix} a &b \\ c&d \end{smallmatrix}\bigr) x$

Hvordan viser jeg det?

Brugbart svar (1)

Svar #1
06. oktober 2014 af Andersen11 (Slettet)

Prøv at forklare, hvad det vil sige, at ligningssystemet er asymptotisk stabilt.

Svar #2
06. oktober 2014 af ab19888 (Slettet)

Altså, hvis vi har et lineært differentialligningssystem med konstante koefficienter:

x'(t) = Ax(t), t ∈ [t0, ∞[.

Så siges systemet at være asymptotisk stabilt, hvis der for enhver løsning x(t), t ∈ [t0, ∞[, gælder at

x(t) → 0 for t → ∞.

Brugbart svar (1)

Svar #3
06. oktober 2014 af Andersen11 (Slettet)

Svar #4
06. oktober 2014 af ab19888 (Slettet)

#3 - Jeg har lige redigeret det.

Brugbart svar (1)

Svar #5
06. oktober 2014 af Andersen11 (Slettet)

Hvis egenværdierne for matricen A er forskellige, er den fuldstændige løsning af formen

x(t) = c₁·e^λ₁t·u₁ + c₂·e^λ₂t·u₂

Hvis løsningen skal gå mod 0 for t → ∞ , skal begge egenværdier være negative

Svar #6
06. oktober 2014 af ab19888 (Slettet)

#5 - Det forstår jeg ikke. Egenværdierne af Matricen A? Der er egenværdierne -a og -d.

Brugbart svar (1)

Svar #7
06. oktober 2014 af Andersen11 (Slettet)

Se evt. https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=1525151

Svar #8
06. oktober 2014 af ab19888 (Slettet)

Ja, hun finder det karakteristiske polynomium. Det giver stadig ingen mening for mig:

Brugbart svar (1)

Svar #9
06. oktober 2014 af Andersen11 (Slettet)

Egenværdierne er rødderne i det karakteristiske polynomium.

Svar #10
06. oktober 2014 af ab19888 (Slettet)

Jeps, derfor -a og -d. Er det derfor systemet er asymptotisk stabilt. Fordi egenværdierne er negative?

Svar #11
06. oktober 2014 af ab19888 (Slettet)

Aha. Jeg har forstået det nu. Tusind tak for hjælpen.

Skriv et svar til: asymptotisk stabilt

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.