Matematik

Partikulære løsning til differentialligningssystemet x'(t)=Ax(t) for hvilken x(0)=b

01. november 2014 af joeeey (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hej :D

jeg skal bestemme den partikulære løsning til differentialligningssystemet x'(t)=Ax(t) for hvilken x(0)=b $S=\begin{pmatrix} 1& 8\\ 1 & 7 \end{pmatrix}$ , $\Lambda =\begin{pmatrix} -1& 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ og $b =\binom{26}{20}$

matricen opfylder, at $AS=S\Lambda$

da x(0)=b kan vi skrive dette ligningssystem:

x_1(0)=26

x_2(0)=20

Udfra S kan vi skrive:

x_1(t)=1x_1+8x_2

x_2(t)=1x_1+7x_2 altså:

$\binom{x_1(t) }{x_2(t)}=\begin{pmatrix} 1 & 8\\ 1 & 7 \end{pmatrix}\binom{x_1}{x_2}$

egenværdierne kan aflæses udfra $\Lambda$ til $\lambda_1=1, \lambda_2=-1$ og egenvektoren til egenværdierne kan aflæses fra til:

$v_1=\binom{1}{1} , v_2=\binom{8}{7}$

der gælder at $\Lambda =S^{-1}AS$ . Vi indfører hjælpefunktioner y_1 og y_2

$\binom{y_1(t) }{y_2(t)}=S^{-1}\binom{x_1(t)}{x_2(t)}, d.v.s.$

$\binom{x_1(t) }{x_2(t)}=S\binom{y_1(t)}{y_2(t)},$ så fåes

$\binom{y'_1(t) }{y'_2(t)}=S^{-1}\binom{x'_1(t)}{x'_2(t)}=S^{-1}A\binom{x_1(t)}{x_2(t)}=S^{-1}AS\binom{y_1(t) }{y_2(t)}=\Lambda \binom{y_1(t)}{y_2(t)}$ altså

$y_1'(t)=\lambda_1y_1(t)$ og $y_2'(t)=\lambda_2y_2(t)$ så

$y_1(t)=c_1e^{\lambda_1t}$ og $y_2(t)=c_2e^{\lambda_2t}$ heraf følger

$\binom{x_1(t)}{x_2(t)}=S\binom{c_1e^{\lambda_1t}}{c_2e^{\lambda_2t}}=\bigl(\begin{smallmatrix} v_1&v_2 \end{smallmatrix}\bigr)\binom{c_1e^{\lambda_1t}}{c_2e^{\lambda_2t}}=c_1e^{\lambda_1t} + c_2e^{\lambda_2t} , c_1,c_2\epsilon \mathbb{R}$ d.v.s.

$x_1(t)=c_11e^{-1t} + c_28e^{1t}$

$x_1(t)=c_11e^{-1t} + c_27e^{1t}$

$x_1(0)=26\Rightarrow c_1+8c_2=26$

$x_2(0)=20\Rightarrow c_1+7c_2=20$

hvoraf man får (c_1,c_2)=(-22,6)

SÅ VORES PARTIKULÆRE LØSNING ER

$x_1(t)=-22e^{-t} +48e^{t}$

$x_1(t)=-22e^{-t} + 42e^{t}$

ER DET RIGTIGT ???

Brugbart svar (0)

Svar #1
01. november 2014 af Andersen11 (Slettet)

Du har ikke oplyst, hvordan matricen A ser ud.

Svar #2
01. november 2014 af joeeey (Slettet)

A skal først regnes i næste opgave og er her ukendt

Svar #3
03. november 2014 af joeeey (Slettet)

Er det ellers rigtigt??

Skriv et svar til: Partikulære løsning til differentialligningssystemet x'(t)=Ax(t) for hvilken x(0)=b

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.