Matematik

Fuldstændige løsning..

05. november 2014 af Ninjaaa (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hej alle, jeg skal finde den fuldstændige løsning til y'(t)=(3t²+11)/y(t).. De plejer at være på formen y'(t)+p(t)=q(t) form, så det er derfor jeg ikke ved hvad jeg skal..

Brugbart svar (0)

Svar #1
05. november 2014 af peter lind

Du skal bruge separation af variable. y*dy = (3t²+11)dt integrer på begge sider

Svar #2
05. november 2014 af Ninjaaa (Slettet)

Kan man bare separere dem sådan? Uden at isolere?

Svar #3
05. november 2014 af Ninjaaa (Slettet)

Sorry, har forstået det nu :D

Svar #4
05. november 2014 af Ninjaaa (Slettet)

Jeg får den fuldstændige løsning til at være y(t)=e^{t^3+c+11t}, men mit CAS værktøj får det til $\pm sqrt(2t^3+c+22t)$

Svar #5
05. november 2014 af Ninjaaa (Slettet)

Da jeg integrerede ved begge sider fik jeg: $ln\left | y \right |=t^3+11t+c$ jeg isolerer så y og får nu: y=e^t^3^+^1^1^t^+^c

Brugbart svar (0)

Svar #6
05. november 2014 af Andersen11 (Slettet)

Du integrerer forkert. Man har jo

∫ y dy = ∫ (3t² + 11) dt

dvs

(1/2)y² = t³ + 11t + c

hvoraf man så får løsningen, som dit CAS-værktøj fandt.

Svar #7
05. november 2014 af Ninjaaa (Slettet)

Ja men formlen for denne type opgave er:
∫1/g(y) dy = ∫ f(t) dt.. Der er derfor jeg får 1/y = ln(y)

Svar #8
05. november 2014 af Ninjaaa (Slettet)

Men når jeg gør det på den måde får jeg:
$y^2/2=t^3+11t+c \Leftrightarrow y^2=(t^3+11t+c)*2\Leftrightarrow y^2=2t^3+22t+2c\Leftrightarrow y=\pm sqrt(2t^3+22t+2c)$ Det er ikke det samme sol CAS værktøjet fandt

Brugbart svar (0)

Svar #9
05. november 2014 af Andersen11 (Slettet)

Det kommer jo så an på, hvad f(t) og g(y) er. Her er f(t) = 3t2 + 11 , mens g(y) = 1/y , så 1/g(y) = y .

Og, jo, det er det samme som dit CAS-værktøj fandt. Om konstanten kaldes c eller 2c er jo bedøvende ligegyldigt.

Brugbart svar (0)

Svar #10
05. november 2014 af peter lind

#7 På venstre side står der 1/g(y) ikke 1/y. I dette tilfælde er g(y) = 1/y

Svar #11
05. november 2014 af Ninjaaa (Slettet)

Nej det er ikke lige meget.. For differentialligningen skal opfylde at y(0)=2. Hvoraf jeg får c=2, hvis jeg indsætter i det som CAS værktøjet fandt bliver det: $\pm sqrt(2t^3+2+22t)$ . Hvis jeg indsætter c i det jeg har fundet bliver det: $\pm sqrt(2t^3+22t+4)$

Brugbart svar (0)

Svar #12
05. november 2014 af Andersen11 (Slettet)

#11

Du skal jo holde rede på, hvilken definition for konstanten c, du benytter.

Hvis man bruger y = ±√(2t³ + 22t +c) med y(0) = 2 , får man c = 4 .

Hvis man bruger y = ±√(2t³ + 22t +2c) med y(0) = 2 , får man c = 2 .

Funktionsudtrykket bliver jo det samme.

Svar #13
05. november 2014 af Ninjaaa (Slettet)

Nåååår okay mange tak for det!!!! :) En sidste ting jeg ikke helt forstår er hvorfor du integrerer på den måde i #6 når formlen er:
G(y(t))=F(t)+c hvor G(y)=∫1/g(y) dy så i vores tilfælde er det G(y)=∫1/y dy eller???

Svar #14
05. november 2014 af Ninjaaa (Slettet)

Undskyld for de mange spørgsmål, men skal til eksamen om en måned og er nødt til at forstå det hele :)...

Brugbart svar (0)

Svar #15
05. november 2014 af Andersen11 (Slettet)

#13

Nej, jeg har jo allerede forklaret i #9, at g(y) = 1/y , så G(y) = ∫ y dy .

Svar #16
05. november 2014 af Ninjaaa (Slettet)

Når ja mange tak :)!!

Skriv et svar til: Fuldstændige løsning..

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.