Fremgangsmåde til løsning af differentialligninger

Man kan benytte den generelle panserformel. For denne differentialligning kan man også benytte separation af de variable. Man benytter oplysningen om punktet til at fastlægge integrationskonstanten.

Den lineære differentialligning

        y'(x) + p(x)·y(x) = q(x)

har den generelle løsning

        y(x) = e^-P(x) · (∫ e^P(x) · q(x) dx + c) ,

hvor     P(x) = ∫ p(x) dx .

Jeg har brug for at få skæreret ud i pap :D

Hvad skal jeg gør helt præcist, hvis jeg bruger panserformlen? Og hvad skal jeg gør, hvis jeg bruger separation af de variable.

På forhånd tak!

#2

Hvis man skulle løse den ligning, du har anført i #0, ved at benytte panserformlen, aflæser man, at

        p(x) = -2x - 5     , og   q(x) = 0

og dermed

        P(x) = -x² -5x .

Den generelle løsning er da

        y(x) = c · e^{x^2+5x}

og der skal gælde y(1) = e , hvoraf man får

        c · e⁶ = e , dvs.   c = e^-5 .

Løsningen på eksemplet er da

        y(x) = e^{x^2+5x-5} .

Benytter man i stedet separation af de variable, har man

        (1/y) dy = (2x+5) dx

der integreres

        ∫ (1/y) dy = ∫ (2x+5) dx

til

        ln(y) = x² + 5x + c

eller

        y(x) = e^{x^2+5x+c}

hvor c fastlægges ved at y(1) = e .

Lige tre spørgmål:

1) Hvordan får du  c · e⁶ = e   til at være  c = e^-5 .

2) Det som du kalder for den generelle løsning det samme som partikulær løsning?

3) Og det afsnit du kalder løsningen på eksemplet det samme som den fuldstændig løsning?

På forhånd tak!

#4

1) Man får jo    c = e/e⁶ = e^1-6 = e^-5 .

2) Nej, en partikulær løsning er én bestemt løsning (her: nemlig den løsning hvis graf går gennem punktet (1,e)). Den generelle løsning er den fuldstændige løsning.

3) Løsningen på eksemplet er den løsning til differentialligningen, hvis graf går gennem punktet (1,e) .

Mange tak for hjælpen!!