Trigonometriske funktioner - Funktionsværdier

Fordi tan(x) er defineret som sin(x)/cos(x) , og cos(x) = 0 for x = 90º og 270º .

#1

Mange tak for et hurtigt og forståeligt svar.

Jeg prøver, at formulere mit næste spørgsmål:

Hvorfor har cos(x) egentlig funktionsværdien 0 , hvis x = 90 og x = 270 ? Jeg mener egentlig helt generalt med de trigonometriske funktioner; hvorfor er deres funktionsværdi som den er?

Man kan også indse det geometrisk:
Tangens til retningsvinklen Θ på enhedscirklen er skæringen (1 ; tan Θ) , af vinkelbenets forlængelse, med linien x = 1 som er enhedscirklens tangent i (1 ; 0)
Er retningsvinklen ^π/₂ = 90º , vil de to linier være parallelle og skærer således ikke hinanden. 

#2

Funktionerne cos(x) og sin(x) er defineret ud fra enhedscirklen. Punktet på enhedscirklen med retningsvinkel x, regnet fra x-aksens positive retning og regnet mod uret, har koordinatsættet (cos(x) , sin(x)) . Punktet med retningsvinkel x = 0º har koordinatsættet (1 , 0). Punktet med retningsvinkel x = 90º har koordinatættet (0 , 1), osv. Heraf fremgår værdierne i denne lille tabel

         x        cos(x)         sin(x)
         0º         1                 0
       90º         0                 1
      180º       -1                 0
      270º        0                -1

#3 - #4

Hej igen og mange tak for jeres svar.

Jeg har vedhæftet enhedscirklen, udarbejdet i geogebra. Vinklen A er 45^º , vinklen B er 45^º og vinklen C er 90º . Punktet D har koordinatsættet (0,25 , 0,5).
Angående et punkt i #4, hvad skal jeg så gøre med det, for at forstå de trigonometriske funktioner helt præcist, og deres funktionsværdi?

#5

Du spurgte i #2, hvorfor cos(90º) og cos(270º) er 0, og jeg henviste i #4 til enhedscirklen.

Hvad er dit spørgsmål i forbindelse med det, du har vedhæftet her?

#6

Definition af sinus og cosinus ud fra enhedscirklen. Så et billede af enhedscirklen, hvor en trekant ABC var indtegnet, men jeg vedhæfter nyt billede taget fra portalen. Hvordan bliver de definineret ud fra enhedscirklen? 

Egenligt var mit spørgsmål, om punktet D har noget med definitionen at gøre, men har genlæst #5 og ser jeg ikke engang spurgte om det, det undskylder jeg for. Jeg spørger også nu om hvad en retningsvinkel er?

#7

Nej, punktet D i dit tidligere indlæg har ikke noget med enhedscirklen at gøre.

Jeg har forklaret i #4, hvordan de trigonometriske funktioner er defineret ud fra enhedscirklen. På din figur i #7 er retningsvinklen netop vinklen v. Punktet på enhedscirklen har coordinatsættet (cos(v) , sin(v)) . Retningsvinklen er også lig med buelængden langs cirklens periferi fra punktet (1 , 0) til
punktet (cos(v) , sin(v)) på enhedscirklen.

#8

Punktet på enhedscirklen har koordinatsættet (cos(v) , (sin(v))" - hvilket punkt? D?

Lad os tage sinus (se vedhæftet (næsten det samme som vedhæftet i #5))

så får vi forholdet mellem b og c

Jeg håber, for min skyld, hvis du vil forklare det lige mere præcist, hvorfor netop sinus er defineret som modstående divideret med hypotenusen.

Ved godt nu, at vinklen v er retningsvinklen i #7, men jeg ved stadig ikke, hvad en retningsvinkel er.

#9

Prøv nu at være lidt fokusseret her. Jeg henviste til det, du vedlagde i #7. Der er ikke noget punkt D, og der er kun tale om ét specielt punkt på enhedscirklen, der er markeret med en lille åben cirkel.

Retningsvinklen v er vinklen mellem den positive x-akse og radiusvektor til retningspunktet (x,y) på enhedscirklen. I 1. kvadrant kan man benytte sidelængderne i den retvinklede trekant, der har radien som hypotenuse, og der ser man så, at

        sin(v) = x/1    og    cos(v) = y/1 .

#10

Hej Torben og mange tak for dine svar.

Det hjælper, at se videoer om det, da det bliver vist grafisk.

Jeg håber du vil se vedhæftet og link: https://www.youtube.com/watch?v=rdvZXNYfpCA , hvordan får han de der koordinater (0,82 , 0) frem ved omkring 1:50 inde i videoen. Jeg har udarbejdet med i geogebra, samtidig med jeg ser videoen. Er der mere jeg mangler ?

#11

Ja, som tidligere nævnt er cos(v) jo netop x-kkordinaten til retningspunktet, mens sin(v) er y-koordinaten til punktet. Jeg ved ikke, hvad du mener med, om der er mere du mangler.

Det er altid en god ide at lave skitser mens man læser en tekst, der ikke forekommer helt indlysende.

#12

I det vedhæftede i #11 er da B et retningspunkt, og α er retningsvinklen ?

Jeg forstår det også lidt bedre ved den pythagoræiske læresætning.  Nu hvor cos(v) = x , sin(v) = y , kan vi kalde x og y for kateterne og radius som hypotenusen, så får x² + y² = 1 . Hvad er den sætning så ?

#13

Ja, B er retningspunktet og α er retningsvinklen.

Sætningen     

        cos²(x) + sin²(x) = 1

er Pythagoras' sætning. I den trigonometriske udgave kaldes den også populært for idiotformlen. Kender man sin(x) eller cos(x), kender man også den anden af de to funktionsværdier pånær fortegnet,

Jeg tænkte bare på, om der er mere jeg mangler, at indsætte i geogebra i #11, så jeg forstår det 100 % .

Ved du, hvordan jeg får de der koordinater frem i geogebra, som jeg skrev i #11 ?

#15

Jeg kender ikke noget til geogebra udover navnet, men jeg vil da gå ud fra, at der findes en form for manual til det program. Det er svært for mig at vide, hvad du mangler for at forstå noget 100%.

#16

Jeg forstår bare stadig ikke helt definitionen af funktionerne
Altså er den matematiske definition

cos(v) = x
sin(v) = y

definitionen af funktionerne?

Jeg forstår heller ikke hvorfor at

sin(A) = a/c
cos(A) = b/c
tan(A) = a/b

Det medføre, at jeg heller ikke forstår det i #4

#17

De trigonometriske funktioner defineres ud fra enhedscirklen, så at retningspunktet for retningsvinklen v har koordinatsættet (cos(v) , sin(v)) .

Betragter man så en retvinklet trekant ABC, som den du har vist i #5 hvor AB er hypotenusen med længden c, og de to kateter |BC| = a og |AC| = b, kan vi tegne cirklen med centrum i A og med radius |AB| . Benyttes |AB| = c som længdeenhed, vil punktet B da have koordinaterne (b/c , a/c) , og det fremgår, at

        sin(A) = a/c      og       cos(A) = b/c  .

#18

Hej Torben og mange tak for dine svar.

Dit svar gav nu en meget god forklaring på definitionerne af de trigonometriske funktioner, og deres funktionsværdi.