Logistisk vækst med jagt/fiskeri

a) De stationære løsninger er givet ved y' = 0 dvs 2y-0,5y^2=0 som giver y=0 eller y= 4. Her er 0 frastødende, mens 4 er tiltrækkende. Dette ses af at parablen 2y-0,5y^2 i nærheden af 0 er voksende (dvs gøres y lidt større vil den bevæge sig endnu mere væk ad sig selv, da y' er >0. Omvendt for y=4: gøres y lidt mindre vil den bevæge sig tilbage mod 4, da y' >0 i nærheden af y=4.

b) I denne opgave se du som i a) på fase-rummet (y,y') hvor du har y ud af første aksen og y' ud af anden-aksen. Du får for y'=0,5y^2+2y-1,5 en parabel, der skærer første aksen (her y-aksen) i y=1 og y=3. Det første punkt er frastødende og det andet tiltrækkende. Dette ses ud fra følgende: gøres y lidt mindre end 1 vil den blive endnu mindre ad sig selv da y'<0 for y<1. Tilsvarende vil y bevæge sig væk fra 1 ad sig selv, hvis den gøres en anelse større. Omvendt finder man, at y=3 er tiltrækkende.

For a=3 er diskriminanten til parablen y'=0,5y^2+2y-a negativ, og der er derfor ingen stationære punkter. Diskriminanten er nul for a=2. Her vil det gælde, at er bestanden større end 2 vil den nærme sig 2 uden at komme under. Er den derimod mindre end 2 fra starten vil den hurtigt blive nul.

c) For c gælder noget af det samme, dog vil stationære løsninger (vandrette linjer i (t,y) diagrammet) blive erstattet af periodiske løsninger eller cykliske kurver, der svinger om en vandret linje.