Matematik

2. ordens diff. ligninger

07. december 2014 af sherry68 (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej, jeg har prøvet at løse y''=k^2 y i flere timer nu men jeg er helt lost,

nogen der kan beviset eller hjælpe lidt ?

Brugbart svar (0)

Svar #1
07. december 2014 af Andersen11 (Slettet)

Prøv med en funktion af formen y = e^rt . Det giver den karakteristiske ligning til bestemmelse af r.

Brugbart svar (1)

Svar #2
07. december 2014 af mathon

$c_1\cdot \cosh(kx)+c_2\cdot \sinh(kx)$

Brugbart svar (0)

Svar #3
07. december 2014 af peter lind

#2 Det er løsningen til differentialligningen y'' = -k²*y

Brugbart svar (1)

Svar #4
07. december 2014 af Andersen11 (Slettet)

Nej, det bliver

y(t) = c₁·e^kt + c₂·e^-kt.

Svar #5
08. december 2014 af sherry68 (Slettet)

Okay tak ! men jeg skriver srp og det handler om svingninger, vilken formel ville være nemmere at bruge? :)

altså den med y(t)=c_1 *e^(kt) +c_2 *e^(-kt) y(t) = c1·ekt + c2·e-kt eller [c_1\cdot \cosh(kx)+c_2\cdot \sinh(kx)] ?

Brugbart svar (0)

Svar #6
08. december 2014 af mathon

Svingninger opfylder differentialligningen

$y{\, }''=-k^2\cdot y$

Brugbart svar (0)

Svar #7
08. december 2014 af mathon

…med løsningen

$y=c_1\cdot \cos(kx)+c_2\cdot \sin(kx)=A\cdot \cos(kx-\varphi _0)$

Svar #8
08. december 2014 af sherry68 (Slettet)

Tusind tak ! har du noter til dette ? :)

Brugbart svar (1)

Svar #9
08. december 2014 af mathon

konstanten $\varphi _0$ afhænger alene af begyndelsesbetingelserne
og cos-og sinfunktionen er parallelforskudt $\tfrac{\pi }{2}$
hvorfor

$y=c_1\cdot \cos(kx)+c_2\cdot \sin(kx)=A\cdot \cos(kx-\varphi _0)=A\cdot \sin(kx+\beta )$

$A=\sqrt{{c_{1}}^{2}+{c_{2}}^{2}}$

Brugbart svar (0)

Svar #10
08. december 2014 af mathon

Et lod i en "masseløs" fjeder
opfylder
$m\cdot y{\, }''=-k\cdot y$

hvoraf
$y{\, }''=-\frac{k}{m}\cdot y$

$y{\, }''=-\left (\sqrt{\frac{k}{m}} \right )^2\cdot y$

$y=A\cdot \sin\left ( \sqrt{\frac{k}{m}}\cdot t+\varphi _0 \right )$

Brugbart svar (0)

Svar #11
09. december 2014 af mathon

Hvis et lod i en "masseløs" fjeder uden luftmodstand
opfylder:

$m\cdot y{\, }''=-k\cdot y$

hvoraf
$y{\, }''=-\frac{k}{m}\cdot y$

$y{\, }''=-\left (\sqrt{\frac{k}{m}} \right )^2\cdot y$

$y=A\cdot \sin\left ( \sqrt{\frac{k}{m}}\cdot t+\varphi _0 \right )$

og udfører harmoniske svingninger.

Brugbart svar (1)

Svar #12
09. december 2014 af mathon

Hvis et lod i en "masseløs" fjeder med luftmodstand
opfylder:

$m\cdot y{\, }''=-k\cdot y$

hvoraf
$y{\, }''+2py{\, }'+{\omega _{o}}^{2} y=0$ hvoraf under bestemte betingelser

$y=e^{-pt}\left ( c_1\cos(\omega _1t)+c_2\sin(\omega _1t) \right )$

$y=e^{-pt}\cdot A\cdot \sin(\omega _1t+\varphi _o)$ $\omega _1=\sqrt{{\omega _{o}}^{2}+4p^2}$

og udfører dæmpet harmoniske svingninger.

Skriv et svar til: 2. ordens diff. ligninger

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.