Matematik

Differentialligninger - Seperation af de variable

11. december 2014 af RGMathias95 (Slettet) - Niveau: A-niveau

SRP :(

Hej. Sidder med en differentialligning der hedder g-b*v²=v', hvor b er en konstant pga (1/2*p*A*Cw, noget indenfor fysik, og g er tyngdeaccelerationen og v er farten)

Skal bruge metoden seperation af de variable, til at løse differentialligningen, men kan ikke komme videre end til at jeg seperer dem og får

Integralet(1/g-b*v^2)dv = integralet(t)dt

skal så nu til at læse integralerne, og her står jeg af.

Skal først finde hastighedsfunktionen, hvorefter jeg skal finde stedfunktionen :( begge gange skal jeg bruge seperation af de variable.

Tak på forhånd.

Brugbart svar (0)

Svar #1
11. december 2014 af Andersen11 (Slettet)

Benyt, at

$\frac{1}{g-bv^{2}}=\frac{1}{2(g-\sqrt{gb}\cdot v)}+\frac{1}{2(g+\sqrt{gb}\cdot v)}$

Svar #2
12. december 2014 af RGMathias95 (Slettet)

$\int\frac{1}{2(g-\sqrt{gb}*v)}+\frac{1}{2(g+\sqrt{gb}*v)}dv=\int t dt$

det lyder fornuftigt gjort, men aner simpelthen ikke hvordan jeg så kommer videre igen. skulle gerne ende ud med en funktion der hedder $v=\sqrt{\frac{mg}{k}}tanh(\sqrt{\frac{gk}{m}}t)$ , altså det er v(t) hvor k gerne skulle være en konstant, det der 1/2*p*A*Cw er en konstant i formlen.

Svar #3
12. december 2014 af RGMathias95 (Slettet)

Der er et engelsk site https://prettygoodphysics.wikispaces.com/file/view/air_resist.pdf, hvor det er det fra side 5 til side 6 jeg prøver at skal lave, først v(t) og derefter s(t). men forstår simpelthen ikke hvordan det sker :(

Svar #4
12. december 2014 af RGMathias95 (Slettet)

Hvor k, jo så i virkeligheden er det, jeg i dette tilfælde har kaldt b tidligere.

Så, så vidt jeg forstår ud fra den engelske der, så skal man bruge noget partialbrøk, så når man har det vi havde før, kan man vel skrive. [\int\frac{1}{2(g-\sqrt{gb}*v)}+\frac{1}{2(g+\sqrt{gb}*v)}dv=\int t dt] $\int\frac{1}{2(g-\sqrt{gb}*v)}+\frac{1}{2(g+\sqrt{gb}*v)}dv=\int t dt\rightarrow \frac{1}{2b}[\frac{1}{v-b}-\frac{1}{v+b}]=\int t dt\rightarrow\frac{1}{2b}\int\fra\frac{dv}{v-b}-\frac{1}{2b}\int \frac{dv}{v+b}=\int tdt\rightarrow \frac{1}{2b}ln(\frac{v-b}{v+b})=\int tdt\rightarrow \frac{1}{2b}ln(\frac{v-b}{v+b})=\int tdt\rightarrow -bt+k=\int tdt$

Kan det passe? :s

Brugbart svar (0)

Svar #5
12. december 2014 af Andersen11 (Slettet)

Integrerer man i #2 får man

-ln(g - v√(gb))/(2√(gb)) + ln(g + v√(gb))/(2√(gb)) = t + c

dvs.

1/(2√(gb)) · ln( (g + v√(gb)) / (g - v√(gb)) ) = t + c

eller

1/√(gb) · Artanh( v·√(b/g) ) = t + c

og dermed

v·√(b/g) = tanh( (t+c)·√(gb) )

Svar #6
12. december 2014 af RGMathias95 (Slettet)

Så hvis jeg lige prøver skrive det du har skrevet, med matematik felt så står der

$\int\frac{1}{2(g-\sqrt{gb}*v)}+\frac{1}{2(g+\sqrt{gb}*v)}dv=\int t dt \Rightarrow$

$ln(\frac{g-v*\sqrt{g*b}}{2*\sqrt{g*b}})+ln(\frac{g+v*\sqrt{g*b}}{2*\sqrt{g*b}})=t+c\Rightarrow$

dvs. $\frac{1}{2\sqrt{g*b}}*ln(\frac{g+v*\sqrt{g*b}}{g-v*\sqrt{g*b}})=t+c$ $\frac{1}{2\sqrt{g*b}}*ln(\frac{g+v*\sqrt{g*b}}{g-v*\sqrt{g*b}})=t+c\Rightarrow$

elller $\frac{1}{\sqrt{g*b}}*Artanh(v*\sqrt{b*q})=t+c\Rightarrow$

og dermed $v*\sqrt{\frac{b}{g}}=Tanh((t+c)*\sqrt{g*b}))$ .

Så jeg skal altså ikke benytte det der partialbrøk, og hvis jeg så skal have v til at stå alene, så skal jeg vel dividere med kvadratrod(b/g) på begge sider, så står der $v=\frac{Tanh((t+c)*\sqrt{g*b}))}{}\sqrt{\frac{b}{g}}$ er det, det samme som der står i mine papirer jeg skal komme frem til, altså $v=\sqrt{\frac{mg}{k}}tanh(\sqrt{\frac{gk}{m}}t),$ .

OG MANGE TAK FOR HURTIGT SVAR.

Brugbart svar (0)

Svar #7
12. december 2014 af Andersen11 (Slettet)

Ja, det er vel trivielt at dividere med √(b/g) i resultatet i #5. Hvis b = k/m fremkommer så det sidste resultat.

Svar #8
12. december 2014 af RGMathias95 (Slettet)

Arrrrrh ja I see, det fordi de har sagt at b = k/m hvor jeg siger at b = k, fordi jeg tidligere har dividered b væk.

så de to resultater er i grunden de samme?

og med ovenstående udregninger du har lavet, er metoden seperation af de variable så anvendt, altså med seperér, løs integralerne og til sidst isoler.?

TAK, for hjælpen, OG god weekend.

Brugbart svar (0)

Svar #9
12. december 2014 af Andersen11 (Slettet)

Ja, der blev benyttet separation af de variable.

Svar #10
13. december 2014 af RGMathias95 (Slettet)

Hej Andersen,
måske kan du hjæpe igen :)

Jeg har fundet v(t), i model 1, af bevægelsesligninger, hvor Fnidning er proportional med farten.

Den ser sådan her ud $v=V_{0}*e^{-\frac{b}{m}*t}+\frac{m*b}{b}(1-e^{-\frac{b}{m}t})$ , altså det er den eksakte løsning for v(t), jeg skal nu finde stedfunktionen, og det gør man jo ved at integrer hastighedsfunktionen v(t).

Og ifølge mine papir, så finder de frem til stedfunktionen s(t), ved følgende omregninger (hvis jeg forstår det rigtigt)

De sperer integralerne så vi har $\int_{0}^{t}}v dt = \int_{0}^{t}\frac{m*g}{b}(1-e^{-\frac{b}{m}*t})$ , (men hvor har de gjort af $e^{-\frac{b}{m}t}$

også så vidt jeg forstår så løser de integralerne ved (ved ikke lige hvad de gør med venstre sider, men de får i hvertfald højre side til, $\frac{m*g}{b}(t+\frac{m}{b}(e^{-\frac{b}{m}t}-1))$ , som skulle være eksakt løsning for s(t).

Kan du evt prøve hjælpe forklar mig hvad de gør? forstår ikke hvordan de kommer frem til den stedfunktion.

det jeg snakker om, kan ses på midten af side 3 her: http://www.nqrd.dk/Naturvidenskab/Sider/Matematik/Seperation%20af%20de%20variable.pdf.

Tak på forhånd.

Brugbart svar (0)

Svar #11
13. december 2014 af Andersen11 (Slettet)

#10

s(t) er blot en stamfunktion til v(t). Tilsyneladende er V0 sat til 0. Der skal vel stå m·g/b i dit udtryk for v .

Man finder så en stamfunktion ∫ (1 - e^-ct) dt = t + (1/c)·e^-ct + k' .

Svar #12
13. december 2014 af RGMathias95 (Slettet)

Godaften.

Ja hov, der skal selvf stå (m*g)/b

hvis man så siger ∫ (1 - e-ct) dt = t + (1/c)·e-ct + k', som du gør, er det så stadig seperation af de variable der kan bruges?.

Takker for hurtige svar.

Brugbart svar (0)

Svar #13
13. december 2014 af Andersen11 (Slettet)

#12

Nej, der er sådan set ikke tale om separation af de variable, men om simpel stamfunktionsbestemmelse.

Skriv et svar til: Differentialligninger - Seperation af de variable

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.