Delmængder og funktioner

Find det punkt, der giver globalt ekstremum for f(x,y). Undersøg om det ligger i M. Gør det det og er det et minimum vil det være svaret. Hvis punktet ikke ligger i M ligger minimum på randen

Jeg er interesseret i et eksempel. Så jeg kan lære den fremgangsmåde uden af lettest muligt :)

#2

Opgaven drejer sig om en differentiabel funktion på en begrænset, afsluttet mængde M. Funktionen har derfor en mindste og en største værdi. Hvis et globalt ekstremum antages i det indre af mængden M, vil det være i et stationært punkt for funktionen. Man skal derfor finde det/de stationære punkter i det inde af mængden M. Derefter skal man undersøge funktionen særskilt på randen af M (∂M) . Her er det oplyst, at funktionens minimum på ∂M er 0 . Sammenlign derfor funktionsværdierne i de stationære punkter i det indre af M med 0 for finde minimum af f på hele M.

Vi har lært at omkring delmængden, skal vi tegne en boks i et koordinatsystem, for at gøre den overskuelig. 
Når jeg gør det, går den fra (-sqrt2, 0) til (sqrt2 , -inf)
Hvad gør jeg så nu? Finder jeg de partielle afledede? 

Som sagt vil jeg gerne se mit eksempel løst :i

#4

Mængden M er begrænset og afsluttet. Den er indeholdt i boksen

        -√2 ≤ x ≤ 2
        -2 ≤ y ≤ 0

Find de stationære punkter i M ved at løse ligningssystemet

        ∂f/∂x = 0     ∧     ∂f/∂y = 0

og undersøg derefter f(x,y) på randen af M.

Du har ikke brug for at få et overblik her. Du kan finde de lokale maksima for f(x,y) uden at tage hensyn til begrænsningen til M. Når du har fundet dem kan du simpelthen direkte af definitionen teste om disse ekstremaer ligger i M eller ej. De ekstremaer der ikke ligger i M kan du blot ignorere. De andre må du finde ekstremumsværdierne for. Er de større end 0 er det randens resultat der gælder.

Dit resultat for mængden er forkert

Grafen for x²-2  er en parabel med toppunkt i (0,-2). M er så mængden der begrænses nedadtil af parablen og opadtil af x aksen

Så vi har at

f(x,y) =  x^2 -6x +y^2 +4y +8

De stationære punkter findes

 ∂f/∂x = 2x -6   = 0                    ∂f/∂y = 2y+4 = 0
 x = 3                                        y = -2

stat. punkt : (3,-2)

Rand undersøgelse (? )
f(x,0) = x^2 -6x+8    min: 1.52 max:24
f(x,-2) =x^2 -6x +4 -8 +8   min : -2.48   max:20
f( 2,y)= 4+12 +y^2 +4y +8    min: 20   max: 24
f(-sqrt2 , y)=  2 -6* sqrt2 + y^2+4y+8   min:-3.48   max:1.52  

Altså på minimum findes i nederste venstre hjørne og maximum må findes øverste højre.

Er dette rigtigt? Hvis det er, hvad mangler jeg så for at svare på spørgsmålet?

(3,-2)∉M så det stationære punkt kan ikke bruges.

Randen: Du bruger en forkert rand. Se #6

Du behøver ikke regne på det. I opgaven er der oplyst at minimum for f(x,y) på randen af M er 0 så min fx(x,y) =0

Jeg har her et andet eksempel. Kan i fortælle mig om jeg løser det korrekt? Jeg får facit. 

http://puu.sh/eHX7h/5a88b7f052.png

Jeg begrænser M på følgende blok:
-inf ≤ x ≤ 1
-inf ≤ y ≤ 1

Dertil finder jeg det stationære punkt. 
Jeg finder dette til at være (1/2 , 1/2 )
Altså må max være 1/2

Er det korrekt afledt?

#9

Jeg forstår ikke, hvor du får -∞ som grænser.

Mængden M i dit eksempel er

        M = { (x,y) ∈ R² | |x| ≤ y ≤ 1 }

som er helt indeholdt i rektanglet     -1 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 .

Det stationære punkt er som du anfører (1/2 , 1/2) hvor funktionsværdien er -1 . Da max(f(x)) på randen af M er 1/2 , er max(f(x)) på hele M også lig med 1/2 .

Ah, ja, en tanketorsk . 

Det oplyses, at maks [f(x; y) l (x; y) E  ∂M } = 1/2
Hvad er maks {f(x; y) l (x; y) E M}  ?

Men hvad er det jeg skal bruge det stationære punkt til, og hvad med funktionsværdien? 
Funktionsværdien er = -1, hvilket er det yderste i M. Er det på grund af dette at svaret for M er det samme som ∂M?

∂M må være randen?

#11

Jeg forstår ikke, hvad du mener med "det yderste i M". Den differentiable funktion f(x,y) er defineret på mængden M, der er afsluttet og begrænset. Den har derfor et maksimum, der antages enten i et indre punkt eller på randen af M. Hvis maksimum antages i et indre punkt, vil det være i et stationært punkt for f. Derfor finder man de stationære punkter for f i M og beregner funktionsværdien i disse. Der er kun det ene stationære punkt (1/2 , 1/2), hvor funktionsværdien er -1. Da max(f(x)) på randen af M er 1/2 , er max(f(x)) på hele M også lig med 1/2 .

Ja, ∂M er betegnelsen for randen af mængden M.