Matematik

Ssh. for at X < Y (stokastiske variable).

19. januar 2015 af Amril (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Lad have tæthed p og med tæthed q.

De er begge uafhængige.

Hvordan bestemmes P(X < Y) ?

Det er fra en gammel eksamensopgave, så det er måske ikke længere pensum; kan i hvertfald ikke mindes, at vi har fået arbejdet med disse typer af opgaver under øvelserne.

Min første indskydelse er at sige P(X- Y < 0) , og så bestemme fordelingsfunktionen tilhørende X - Y , men det fører så til nogle integraler, der ikke ser helt overskuelige ud. Er der andre metoder?

Brugbart svar (0)

Svar #1
19. januar 2015 af Whut (Slettet)

Det er nok lettere at sige P(X < Y) = P(Y/X > 1). Lad Z = X/Y.

For at bestemme P(Z > 1), skal du starte med at bestemme sandsynlighedstæthed k(z) for Z.

Derefter har du endelig P(Z > 1) = P(Z ∈ (1, ∞)) = ₁∫^∞ k(z) dz.

Brugbart svar (0)

Svar #2
19. januar 2015 af Whut (Slettet)

Korrektion i den første linje: Lad Z = Y/X.

Svar #3
19. januar 2015 af Amril (Slettet)

Der gælder at (X,Y) har simultan tæthed

$p(x,y) = 2(x-1)y^{-2}$

for

1 < x < 2 , y > 1 .

Jeg sætter Z = Y/X. Dette giver følgende integral for bestemmelse af sandsynlighedstæthed for Z:

$\int_0^\infty p(x,zx)x dx = 2(x-1)(zx)^{-2} xdx$

Ser det rigtigt ud? Og hvis ja, så kan jeg vel ikke integerer med grænserne

$\int_1^2$

da x også afhænger af hvilken værdi z påtager sig?

Brugbart svar (0)

Svar #4
19. januar 2015 af Whut (Slettet)

Lad A = {(x, y) ∈ R² | 1 < x < 2 ∧ y > 1}. Da er 1_A(x,y) = 1_(1,2)(x)1_(1,∞)(y).

Sætter vi y = zx, så bliver arbejdet nok lidt kompliceret.

1_A(x, zx) = 1_(1,2)(x)1_(1/z,∞)(x) = 1_(1/z, ∞)(x) hvis 1/z ≥1, eller 1_(1,2)(x) hvis 1/z < 1.

Det betyder, at man får 1_A(x, zx) = 1_(1/z,∞)(x)1_(-∞,1](z), eller 1_(1,2)(x)1_(1,∞)(z).

Da vi ikke ønsker at have intervallet for x afhænge af z, kan vi benytte 1_A(x, zx) = 1_(1,2)(x)1_(1,∞)(z).

Derved fås k(z) = 1_(1,∞)(z)₁∫² 2(x - 1)(zx)^-2x dx.

Prøv selv resten :}

Svar #5
20. januar 2015 af Amril (Slettet)

Har desværre ikke den store erfaring med indikatorfunktioner, så ovenstående er semi-forvirrende.

Jeg gav det dog et forsøg, som følger.

Sæt W = X/Y , hvorfor vi søger at beregne P(W < 1) . Først bestemmes tætheden $q(w) = \int_0^\infty p(wy,y)y dy$ .

Det følger af integralet, at

1 < wy < 2 og 1 < y .

Idet y er positivt, må w også være positiv (men højst 2), og divideres der igennem med w, fås at 1/w < y < 2/w . Så vi løser:

$\int_{1/w}^{2/w} = 2(wy - 1)y^{-1}dy = 2(1-ln(2))$

Så bestemmes den søgte sandsynlighed ved

$P(W < 1) = \int_0^1 2(1-ln(2) dw = 2(1-ln(2))$

Det ser ud til at passe med facit, men er der alligevel nogle fejl i ovenstående, eller er det udført korrekt?

Brugbart svar (0)

Svar #6
23. januar 2015 af Whut (Slettet)

Prøv at tegne en figur hvordan mængden ser ud.

Vi kan finde fordelingsfunktionen F(z) = P(W ≤ w) = P(Y ≤ zX) således at k(z) = F '(z).

Sæt linjen y = zX på figuren, så ved du hvad mængden er afgrænset. Da har vi

F(z) = P(Y ≤ zX) = ₁∫²₁∫^zx 2(x - 1)y^-2 dydx. Når det er bestemt, får du k(z) = F '(z).

Bestem derefter q(z) = ₁∫^∞k(z) dz.

Skriv et svar til: Ssh. for at X < Y (stokastiske variable).

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.