Matematik

Optimering - Cylinder

20. januar 2015 af Rezwan9 (Slettet) - Niveau: B-niveau

Hej!

Jeg har siddet og kæmpet med en opgave i et stykke tid nu. Den lyder på:

Materialet til en beholder er meget kostbart. Beholderen skal være en lodretstillet cylinder uden låg. Den skal kunne rumme 10 m³.

a) Hvad skal radius i grundfladen og højden være for, at overfladearealet er så lille som muligt?

b) Hvor stort er overfladearealet?

I a'eren er nået så langt som til at differentiere f'(x). Men når jeg vil løse ligningen f'x) = 0, siger TI-nspire "false", og jeg kan ikke komme videre.

Hvordan differentierer jeg 10/x^3? Og derefter sætter det ind i en ligning, som giver nul? Én, der kan forklare mig det trinvis?

På forhånd, tak!

Brugbart svar (0)

Svar #1
20. januar 2015 af Heptan

Udtryk h ved x ved hjælp af rumfangsformlen for en cylinder:

$V\quad = \quad \pi \cdot{r^2} \cdot{h}$

Indsæt dit udtryk for h i formlen for overfladearealet:

$O \quad = \quad 2 \cdot\pi \cdot{r} \cdot{h}$

og løs ligningen

O'(r)=0

Bestem højden ud fra den fundne værdi af r.

Indsæt r og h i formlen for overfladeareal.

Brugbart svar (0)

Svar #2
20. januar 2015 af Heptan

10/x^3 kan også skrives $10\cdot x^{-3}$ som let differentieres med reglen $(x^n)'=n\ x^{n-1}$

Brugbart svar (0)

Svar #3
20. januar 2015 af Heptan

...

$h=\frac{10}{\pi r^2}$

$O(r)=2\pi r\cdot \frac{10}{\pi r^2}=20r^{-1}$

$20=\frac{1}{r^2} \Leftrightarrow r^2=\frac{1}{20}\Leftrightarrow r= \frac{1}{2\ \sqrt{5}}$ da r > 0

Skriv et svar til: Optimering - Cylinder

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.