Matematik

anlægning af vej differentialregning

22. januar 2015 af mathildekkc (Slettet) - Niveau: B-niveau

En kommune skal anlægge en ny vej mellem punkt A og C.
Punkt B ligger 10 km øst for punkt A og punkt C ligger 3 km mod nord for B. Der findes en eksisterende vej mellem A og B, vist som den fuldt optrukne linje på figuren.
Den nye vej kan følge den eksisterende vej, me så skal den udbygges for 4 millioner kr. pr. km. En helt nyanlagt vej vil koste 5 millioner kr. pr. km.
Punkt P angiver hvor langt den nye vej følger den eksisterende og hvorfra der anlægges helt ny vej mod punkt C.

a) Bestem hvor punktet P skal placeres for at vejen bliver så billig som mulig?

Hjælp!

Vedhæftet fil: 1.jpg

Brugbart svar (0)

Svar #1
22. januar 2015 af PeterValberg

Først kalder du afstanden fra A til P for x og opstiller et funktionsudtryk,
der beregner vejens længde L, som en funktion af x, så bestemmer du
den afledede funktion L' og løser ligningen L'(x) = 0

- - -

mvh.

Peter Valberg
(YouTube)

Brugbart svar (0)

Svar #2
22. januar 2015 af Eksperimentalfysikeren

Det er ikke L, du skal bruge. Det er den samlede pris K. Metoden er næsten den samme som i #1, men du skal gange de to vejlængder med prisen pr. km.

Brugbart svar (0)

Svar #3
22. januar 2015 af mathon

Anlægsomkostningerne $\small O(x)$ i mio. kr for den nye vej
når $\small \left | AP \right |=x$

$\small O(x)=x\cdot 4+\sqrt{(10-x)^2+3^2}\cdot 5\; \; \; \; \; \; 0< x< 10$

$\small O(x)=4x+5\sqrt{x^2-20x+109}\; \; \; \; \; \; 0< x< 10$

Et minimum for anlægsomkostningerne
kræver:

$\small O{\, }'(x)=\frac{5(x-10)}{\sqrt{x^2-20x+109}}+4=0$
$\small \frac{5(x-10)}{\sqrt{x^2-20x+109}}=-4$

$\small \frac{25(x-10)^2}{x^2-20x+109}=16$

$\small 25(x^2-20x+100)=16\cdot \left (x^2-20x+109 \right )$

$\small (25-16)x^2+(16-25)20x+(2500-16\cdot 109)=0$

$\small 9x^2-180x+756=0$

$\small x^2-20x+84=0\; \; \; \; \; 0<x<10$

$\small x=6$

Brugbart svar (0)

Svar #4
22. januar 2015 af mathon

monotoni:

$\small O{\, }'(x)\! \! :$          - 0    +
            0_________6________10____>
$\small O(x)\! \! :$      ^aftagende        ^voksende

Monotonien viser, at $\small O(x)$ har minimum for x = |AP| = 6 km

Skriv et svar til: anlægning af vej differentialregning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.