Matematik

Grafer og øvre grænser

16. februar 2015 af majsingym (Slettet) - Niveau: B-niveau

I en matematik model kan udviklingen i antallet af guppyer i et bestemt akvarium beskrives ved differentialligningen dP/dt= 0,0015*P*(150-P)

hvor P betegner antallet af guppyer i akvariet til tiden t (målt i uger)
Det oplyses at der fra start sættes i alt 12 guppyer af forskelligt køn i akvariet

b) Tegn grafen for P i et passende interval, og bestem den øvre grænse for antallet af guppyer i akvariet.
Jeg har lavet grafen, men hvordan finder jeg den øvre grænse ved hjælp af Nspire?

c) Bestem det tidspunkt, hvor væksthastigheden for antallet af guppyer i akvariet er størst.

Brugbart svar (0)

Svar #1
16. februar 2015 af PeterValberg

Den givne differentialligning er af typen

y'=ay(M-y)

hvor den fuldstændige løsning er:

$f(t)=\frac{M}{1+c\cdot e^{-aMt}}$

I dit tilfælde er a = 0,0015 og M = 150 ("bæreevnen")

brug oplysningen P(0) = 12 til at bestemme værdien for konstanten c

b) den øvre grænse for logistisk vækst er M (hvilket i dit tilfælde er 150)

c) Væksthastigheden er størst, når du når M/2
du skal løse ligningen P(t) = 75 mht. t

- - -

mvh.

Peter Valberg
(YouTube)

Svar #2
16. februar 2015 af majsingym (Slettet)

Forstår ikke helt hvad du mener i opgave c?

Brugbart svar (0)

Svar #3
16. februar 2015 af mathon

dP/dt = 0,0015*P*(150-P) > 0 for 0 < p < 150

hvorfor P er voksende i intervallet t ∈ ]0;150[.

P har derfor maksimum for dP/dt = 0 dvs for P = 150.

Brugbart svar (0)

Svar #4
16. februar 2015 af mathon

…væksthastigheden for antallet af guppyer i akvariet er størst
hvor
$\frac{\mathrm{d}^2 P}{\mathrm{d} t^2}=0$

$0,0015\cdot \frac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} t}\cdot \left (150- P \right )+0,0015\cdot P\cdot \left (-\frac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} t} \right )=0$

$0,0015\cdot \frac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} t}\cdot \left ( 150-P-P \right )=0$

$0,0015\cdot \frac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} t}\cdot \left ( 150-2P \right )=0$

    Da $\frac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} t}>0$ og 0<P<150

                  P=75
du har så
                  $12=\frac{150}{1+c\cdot e^{-0,225\cdot 0}}$

c=11,5
hvoraf
$P(t)=\frac{150}{1+11,5\cdot e^{-0,225t}}$

og
til beregning af tidspunkt for den største væksthastigehd:

$75=\frac{150}{1+11,5\cdot e^{-0,225t}}$

$1+11,5\cdot e^{-0,225t}=2$

$11,5\cdot e^{-0,225t}=1$

$e^{-0,225t}=11,5^{-1}$

$e^{0,225t}=11,5$

$0,225t=\ln(11,5)$

$t=\frac{\ln(11,5)}{0,225}\approx 10,9$

Af din tegning skal det derfor fremgå, at væksthastigheden er størst til tiden t = 10,9 uger.

Skriv et svar til: Grafer og øvre grænser

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.