Matematik

Vis at f hverken har lokalt maks eller min via Hessematrice

07. marts 2015 af asdfgqwert (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Sidder med følgende spørgsmål:

Jeg har funktionen
f (x, y) = x^3 y + xy^3 + 2x^3 + 6xy^2 + x^2 + 10xy + y^2 + 4x + 4y + 2
og punkterne
(-1,-1) (0,0) (1,-1) og (0,-2)

Bestem om hessematricen for f på de 4 punkter er positiv, negativ, semi-negative, semi-positiv definit.
Hvis at f hverken har lokalt maks eller lokalt min i de tre førstnævnte punkter.

Jeg har started med at opstille hessematricen
f_xx'(x,y)=6*x*y+12*x+2
f_yy'(x,y)=6*x*y+12*x+2
f_xy'(x,y)=3*x²+3*y²+12*y+10
H= $\begin{pmatrix} 6*x*y+12*x+2 & 3*x^2 +3*y^2 +12*y+10\\ 3*x^2 +3*y^2 +12*y+10 &6*x*y+12*x+2 \end{pmatrix}$

Indsætter værdierne for de 3 punkter og finde egenværdierne
H(-1,-1) har egenværdierne 0 og -8 og er derfor negativ-semidefinit
H(0,0) har egenvrdierne -8 og 12 og er derfor indefinit
H(1,-1) har egenværdierne 4 og 12 og er derfor positiv definit

Mit problem ligger så i at hvis Hessematricen er positiv definit, er der tale om et lokalt minimum, hvilket jo ihht. opgaven er forkert da ingen af de 3 punkter skulle være lokalt min/max

Er der nogen som kan se hvor jeg er gået galt i byen?

Brugbart svar (0)

Svar #1
07. marts 2015 af mathon

f(x,y)= x^3 y + xy^3 + 2x^3 + 6xy^2 + x^2 + 10xy + y^2 + 4x + 4y + 2

f_x=3(y+2)x^2+2x+y^3+6y^2+10y+4

$f_y=x^3+\left (3y^2+12y+10 \right )x+2y+4$

$f_{xx}=6x(y+2)+2$

$f_{yy}=x(6y+12)+2$

$f_{xy}=3x^2+3y^2+12y+10$

Svar #2
07. marts 2015 af asdfgqwert (Slettet)

Det er de helt samme funktionsudtryk som jeg selv har regnet mig frem til.
Men nu bliver jeg lige i tvivl. Gælder udtrykket om at

hvis Hessematricen er positiv definit, er der tale om et lokalt minimum

kun ved brug af stationære punkter?

Brugbart svar (0)

Svar #3
07. marts 2015 af mathon

…gælder kun for stationære punkter.

Svar #4
07. marts 2015 af asdfgqwert (Slettet)

Hvordan kan jeg så vise at f hverken har max eller min i de 3 første punkter?

Brugbart svar (0)

Svar #5
07. marts 2015 af Andersen11 (Slettet)

Der gælder for en differentiabel funktion f(x,y), at

f(x,y) har lokalt ekstremum i et indre punkt (x₀,y₀) ⇒ (x₀,y₀) er et stationært punkt for f(x,y) .

Som det blev vist i din anden tråd https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=1580700 har man

f(x,y) = (x² + (y+2)² -2)·(1 + xy + 2x) = (x² + (y+2)² -2)·(1 + x·(y+2))

Funktionen er altså et produkt af to funktioner, hvis niveaukurver er henholdvis cirkler og hyperbler med centrum i (0,-2). Man ser, at punktet (0,-2) er et stationært punkt for både (x² + (y+2)² -2) og (1 + x·(y+2)) og er derfor et stationært punkt for produktfunktionen f(x,y).

Skriv et svar til: Vis at f hverken har lokalt maks eller min via Hessematrice

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.