Linjer der skærer, er parallelle eller vindskæve

Find mulige skæringspunkter ved at sætte de højresider i parameterfremstillingerne lig med hinanden, hvor man benytter forskellige parametervariable i de to fremstillinger, for eksempel t i m₁ og s i m₂ . Skæring kræver, at alle tre ligninger er opfyldt.

Opgaven kan føre til forskellige situationer:

1) De tre ligninger har netop én løsning, hvilket betyder, at linierne skærer hinanden i et punkt, hvis koordinatsæt findes ved at benytte de fundne parameterværdier.

2) De tre ligninger kan have uendeligt mange løsninger, hvilket betyder, at de to linier er sammenfaldende. I dette tilfælde vil den ene linies parameterfremstilling kunne omskrives til parameterfremstillingen for den anden linie.

3) De tre ligninger har ingen løsninger. Man ser da på de to liniers retningsvektorer r₁ og r₂. Hvis r₁ og r₂ er parallelle, er linierne parallelle. Hvis r₁ og r₂ ikke er parallelle, er linierne vindskæve.

              skæring kræver:

                                                 dvs        som også skal
                   opfylde
                                            
                   og
                                                    hvilket du undersøger om er tilfældet.

Parallellitet kræver
                                    
               dvs
                                    

#3

Det er forkert fremgangsmåde. Man skal bruge forskellige parametervariable i de to parameterfremstillinger, hvis højresider så sættes lig med hinanden, som det også er forklaret i #1. I opg 1 bliver ligningssystemet da

(I)          -3 - 2t  = -15 +  6s
(II)          7 + 6t =  13  -  3s
(III)        8,5 + t = -5,5 + 7s

Man udvælger 2 af ligningerne, for eksempel (I) og (II), til videre løsning

(I)         2t + 6s = 12
(II)        6t + 3s = 6

hvor ligning (II) kan divideres med 3, til

(I)         2t + 6s = 12
(II)        2t + s   = 2

Ligning (II) kan nu trækkes fra Ligning (I) til

        5s = 10 ⇒ s = 2

hvorefter   2t = 2 - s = 2 - 2 = 0 , dvs t = 0.

Denne løsning indsættes nu i den oprindelige ligning (III):

(III)       8,5 + t = -5,5 + 7s
            8,5 + 0 = -5,5 + 7·2 = 14 - 5,5 = 8,5

Ligning (III) er altså også tilfredsstillet af løsningen (s,t) = (2 , 0) , hvorfor de to linier skærer hinanden, og skæringspunktet S findes da let ved at indsætte t = 0 i parameterfremstillingen for m₁ , dvs.

        S = (-3 , 7 , 8¹/₂)

#5
     Du har fuldstændig ret i, at det er beregningsmetoden med to forskellige parametre.

     Men spørgsmålet er, om opgaven er stillet som #0 har opgivet, eller det er #0's egen tolkning af opgaven
     med parameter t begge steder.