Matematik

Løsning af 2. ordens differentialligninger

09. marts 2015 af and222 (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej alle

Er der en af jer, som kan hjælpe mig med at vise et eksempel på løsning af en differentialligning af typen

y''= a * y

Hvor a>0, a=0 og a<0

Det kunne være en kæmpe hjælp for mig, så jeg bedre kan forstå emnet.

Håber der er en af jer, som kan hjælpe.

På forhånd tak! :)

Brugbart svar (0)

Svar #1
09. marts 2015 af mathon

a > 0:
$y=c_1\cdot e^{\sqrt{a}\cdot x}+c_2\cdot e^{-\sqrt{a}\cdot x}$

a = 0:
$y=c_1\cdot x+c_2$

a < 0:
$y=c_1\cdot \cos\left (\sqrt{\left |a \right |}\cdot x \right )+c_2\cdot \sin\left (\sqrt{\left |a \right |}\cdot x \right )$

Svar #2
09. marts 2015 af and222 (Slettet)

Tusinde tak for hurtigt svar!

Det har givet en bedre forståelse for det, men synes stadigvæk det ligger lidt fjernt. Det ville være en enorm stor hjælp, hvis du evt. kan komme med et regneeksempel med tal?

Brugbart svar (0)

Svar #3
10. marts 2015 af mathon

c_1 og c_2 bestemmes af værdierne for

                                   y(0)
                                   $y{\, }'(0)$
                                   $y{\, }''(0)$

Svar #4
10. marts 2015 af and222 (Slettet)

Hej igen, kan du ikke gennemgå beviset for sætningerne for mig? Det ville være en stor hjælp, da jeg gerne vil forstå, hvordan du kommer frem til ovenstående.

Svar #5
12. marts 2015 af and222 (Slettet)

Slet ingen, som kan hjælpe med beviset?

Brugbart svar (0)

Svar #6
12. marts 2015 af mathon

a > 0:
           y'' - a * y = 0
En åbenlys løsning er
                                       $y=e^{rx}>0$
hvoraf
           $r^2e^{rx}-a\cdot e^{rx}=0$

r^2-a=0

$r=\pm \sqrt{a}$

To løsninger er
$y=\left\{\begin{matrix} e^{\sqrt{a}x}\\ e^{-\sqrt{a}x} \end{matrix}\right.$

Det kan vises, at en linearkombination af disse to løsniger, ar den fuldstændige løsning
dvs:
$y=c_1\cdot e^{\sqrt{a}\cdot x}+c_2\cdot e^{-\sqrt{a}\cdot x}$

Brugbart svar (0)

Svar #7
12. marts 2015 af mathon

a = 0:
$y=c_1\cdot x+c_2$

Brugbart svar (0)

Svar #8
12. marts 2015 af mathon

a < 0:
y'' - a * y = 0
En åbenlys løsning er
$y=e^{rx}>0$

hvoraf
$r^2e^{rx}-a\cdot e^{rx}=0$

r^2-a=0

$r=\pm \sqrt{-\left |a \right |}=\pm i\cdot \sqrt{\left | a \right |}$

To løsniger er
$y=\left\{\begin{matrix} e^{\sqrt{a}x}\\ e^{-\sqrt{a}x} \end{matrix}\right.$

Brugbart svar (0)

Svar #9
12. marts 2015 af mathon

To løsniger er
$y=\left\{\begin{matrix} e^{i \sqrt{\left |a \right |}\cdot x}\\ e^{-i\sqrt{\left |a \right |}\cdot x} \end{matrix}\right.$

Det kan vises, at en linearkombination af disse to løsniger, er den fuldstændige løsning
dvs:

$y=C_1\cdot \cos\left ( \sqrt{\left | a \right |}\cdot x \right )+C_2\cdot i\cdot \sin\left ( \sqrt{\left | a \right |}\cdot x \right )$

$y=c_1\cdot \cos\left ( \sqrt{\left | a \right |}\cdot x \right )+c_2\cdot \sin\left ( \sqrt{\left | a \right |}\cdot x \right )$ da $C_2\cdot i$ er en konstant

Skriv et svar til: Løsning af 2. ordens differentialligninger

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.