Løsning af 2. ordens differentialligning

Højresiden er ikke en funktion af x. Højresiden er en konstant, så venstresiden skal altså være en konstant, så η(x) skal være en løsning til en differentialligning af formen

        a·η(x) + b·η''(x) = c

hvor a, b og c er konstanter.

Er vi ude i en inhomogen differentialligning?

#2

Ja, netop, en inhomogen lineær differentialligning af 2. orden med konstante koefficienter. Løs den homogene ligning, find en partikulærløsning til den inhomogene ligning. Der kommer så en betingelse ved at middelværdien af funktionen indgår i konstanten på højre side.

#3

Homogen:

Gætter på løsningen η_h(x) = e^λx og får ved indsættelse i differentialligningen:

a + b·λ² = 0, der har løsningen λ = ± √(-a/b)

Partikulær:

Gætter på løsningen η_p(x) = x og får ved indsættelse i differentialligningen:

a·x = c, dvs. x = a/c

Hvad mener du med middelværdien?

#4

Den homogene ligning har formen

        η'' = - q·η , q > 0

så man skal se på løsninger af formen   η(x) = c₁·cos(x√q) + c₂·sin(x√q) .

Integralet  ₀∫^L η(x) dx  er jo lig med L gange middelværdien af funktionen η(x) på intervallet [0;L] .

#5

Ok, har du defineret q som -a/b?

Var min metode forkert ved den homogene del?

#6

Ja, det har jeg. Din fremgangsmåde kan også bruges.

For en partikulærløsning kan man prøve med en konstant  η_p(x) = k , dvs. k = c/a .

#7

Ja, nemlig. Den samlede løsning er da:

η(x) = c₁·cos(x√q) + c₂·sin(x√q) + c/a,

Hvis man ser i min anden tråd, så angives resultatet som:

η(x) = 1 - cos(p·x)/cos(p·L/2), hvor p er defineret som ω√(m/H)

Hvordan kan de udtryk være lig med hinanden?

Man har jo så, at

        p = ω√(m/H)

og en løsning er så

        η(x) = c₁·cos(px) + c₂·sin(px) + c/(ω²·m)

hvor   c = E·A/L_c · w²/H² · ₀∫^L η(x) dx

#9

Jeg ville egentlig se, hvis det var muligt, om man kunne omskrive vores fundne løsning:

η(x) = c₁·cos(x√q) + c₂·sin(x√q) + c/a (med c₁, c₂, c, q og a som konstanter) til

η(x) = 1 - cos(p·x)/cos(p·L/2) med p som en ny konstant?

Kan man det? Hvordan lavede du i øvrigt omskrivningen i #9?

#10

Hvilken omskrivning? Det følger jo, at p = ω√(m/H) , hvorfor

        η(x) = c₁·cos(px) + c₂·sin(px) + c/(ω²·m)

og her er konstanten c defineret ved den oprindelige højreside

        c = E·A/L_c · w²/H² · ₀∫^L η(x) dx

Indsætter man løsningen η(x) heri, får man

        c = E·A/L_c · w²/H² · (c₁·sin(pL)/p + c₂·(1 - cos(pL))/p + cL/(ω²·m))

Måske er der nogle randbetingelser eller begyndelsesbetingelser, der også kan benyttes?

#11

Ok, men for mit videre arbejde er det lidt vigtigt at komme frem til løsningen i form af:

η(x) = 1 - cos(p·x)/cos(p·L/2) med p som en konstant og som jeg senere kan definere som ω√(m/H) ved at indsætte løsningen i differentialligningen.

Nu havde jeg ikke tænkt på randbetingelser, men hvis man f.eks. benytter η(x = 0) = 0 og η(x = L) = 0, kan man så opnå den ønskede form?

#12

Jeg har lavet en brøler.

Differentialligningen hedder:

ω²·m·η(x) + H·η''(x) = E·A/L_c · w²/H² · 2 · ₀∫^L/2 η(x) dx,

hvor man altså skal integrere fra 0 til L/2, hvorefter man ganger med 2. Derudover er randbetingelserne som følgende: η(x = L/2) = 0 og η'(x = 0) = 0. Fremgangsmåden er vel den samme?

Hvordan opfylder jeg betingelsen med middelværdien, du nævnte i #3?

#13

Det var jo netop noget jeg spurgte efter i den anden tråd, om integralet kun gik til L/2 , hvilket blev afkræftet på det bestemteste dengang. Prøv nu selv at gå det hele igennem igen.

#14

Jeg har nu fundet fejlen og den er rettet.

Den homogene og partikulære løsning giver som før: η_h(x) = c₁cos(√(q)x) + c₂sin(√(q)x) og η_p(x) = c/a

Randbetingelserne for den fuldstændige løsning giver:

η(x = L/2) = 0: c₁·cos(√(q)·L/2) + c₂·sin(√(q)·L/2) + c/a = 0

η'(x = 0) = 0: -c₁·√(q)·sin(√(q)·0) + c₂·√(q)·cos(√(q)·L/2) = 0

Løser jeg disse to ligninger med to ubekendte, får jeg:

c₁ = -c/(a·cos(√(q)·L/2))

c₂ = 0

Dermed bliver løsningen:

η(x) = c/a - c/a·cos(√(q)·x)/cos(√(q)·L/2), hvor p = √(q).

Helt identisk bliver det dog ikke med den ønskede form.

#15

Jo, det gør det, hvis c/a = 1 , dvs hvis

        ω²·m = E·A/L_c · w²/H² · 2 · ₀∫^L/2 η(x) dx

#16

Ja, hvis c/a = 1.

Går vi videre med:

η(x) = c/a - c/a·cos(√(q)·x)/cos(√(q)·L/2)

har man:

ω²·m = E·A/L_c · w²/H² · (c·L/a - 2·c·sin(p·L/2)/(a·cos(p·L/2)·p))

Det vil jo ikke gå op, når man nu får et udtryk med a og c på højre side? Går man ikke i ring?

Man har så

        ω²·m = E·A/L_c · w²/H² · (c/a) · L · (1 - tan(θ)/θ)

med   θ = pL/2

og da

        p² = ω² · m·k² / (H·a² + G·J)

får man

        θ² / (1 - tan(θ)/θ) = E·A/L_c · w²/H² · (c/a) · L · L²·k²/4 / (H·a² + G·J)

og da

        (w/H)² = 64d²/L⁴

får man

        θ² / (1 - tan(θ)/θ) = E·A/(L_c·L) · 64d² · (c/a) ·k²/4 / (H·a² + G·J)

                                    = 16d²·k²·E·A/(L_c·L) ·(c/a) / (H·a² + G·J)

#18

Jeg burde have skrevet det i starten, men den anden tråd handler om en bevægelsesligning, der beskriver vridning af en bjælke, hvor θ = pL/2 og p er den du har anvendt i #18.

Jeg skal her undersøge bjælken for bøjning, hvor der gælder θ = ω√(2d/g), w = mg og p = ω√(m/H).

Ud fra #17 tyder det på, at man ikke kan bestemme konstanten c.

#18

Jeg tror, at jeg har den!

Hvis vi har en lineær differentialligning og hvis η(x) er en løsning, så må η(x) gange en faktor også være en løsning. Hvis faktoren er a/c, så har man η₁(x) = η(x)·a/c = 1 - cos(px)/(pL/2), der også må være en korrekt løsning. Er det ikke korrekt?