Vis, at funktionen er kontinuert

Der er umilbart to oplagte måder at vise kontinuitet for f i x=8.

metode 1:
Du kan direkte bruge definitionen af kontinuitet i et punkt.

metode 2:
Du kan vise at f er differentiable i punktet x=0, hvorfor der nødvendigvis gælder at
f også er kontinueret i samme punkt.

Tillad mig at påminde om at niveauet er sat til A-niveau, og på det niveau har de højst sandsynligt ikke lært om eksistenskvantorerne endnu. Ikke at der er noget forkert i #1.

Hvordan viser man, at f er differentiabel i punktet x=0? 

Jeg inkluderet også blot metoden for "fuldstændighedens" (af mangel på et bedre ord) skyld.
Jeg vil også varmt andbefalde at gå igennem metode nr. 2. I det jeg ikke selv husker at have nogen bedre sætning til rådighed i gymnasiet, der viser kontinuitet af en funktion. Idet begrebet 'kontinuitet' ikke var ordentligt veldefineret i den matematik bog jeg anvendte.

#3

Hvordan viser man, at f er differentiabel i punktet x=0? 

Hov, undskyld. Det skulle være punktet x=8, da det er dette punkt der spørges indtil i opgaven.

Du gør det ved at finde differentialkvotienten til funktion i punktet x=0, ved først at nærme dig fra højre og derefter fra venstre.. Hvis disse to værdier (den højre hhv. den venstre) er identiske, kan du slutte at funktionen er differentiabel i punktet x=0 og at dens differentialkvotient har den funde værdi.

Mange tak! :) Så mangler jeg bare de sidste to opgaver.

Kan det ikke passe, at i har bevist en sætning der siger:

For en funktion f defineret på det åbne interval (a,b), hvor a<b, gælder det at

I spm b) integreres funktionen fra 0 til 12 .

I a) skal man blot vise af f(x) beregnes til samme værdi, når x sættes lig med 8 i hvert af de to funktionsudtryk -- det der gælder for 0 ≤ x ≤ 8 , og det der gælder for 8 < x ≤ 16 . Man skal altså vise, at

        6 - √(-8² + 8·8 + 9) = √(-8² + 24·8 - 119)

        6 - √9                              √(-64 + 192 -119)

         6 - 3                                 √9

c) Man bemærker her, at funktionsudtrykket for f(x) for 0 ≤ x ≤ 8 beskriver en del af cirklen med centrum i (4 , 6) med radius 5. Arealet af bedet på stykket 0 ≤ x ≤ 8 kan derfor beregnes som arealet af et rektangel med siderne 3 og 8, hvorfra der trækkes arealet af et cirkelafsnit for en cirkel med radius r = 5 og kordelængde k = 8. Arealet af havebedet på intervallet 0 ≤ x ≤ 8 er derfor

A([0;8]) = 3·8 - (π·5²·2·sin^-1(4/5)/(2π) - (1/2)·3·8) = 12,81762

Man skal derfor kun benytte funktionsudtrykket for 0 ≤ x ≤ 8 for at finde L i spm c), dvs. man skal løse ligningen

        ₀∫^L (6 - √(-x² + 8·x + 9)) dx = 10