Matematik

Gør rede for logaritmefunktionerne

11. juni 2015 af chokoladecookie (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej Studieportalen

Jeg sidder og er ved at læse op til årsprøve i matematik, hvor jeg er kommet til et spørgsmål omkring Eksponential- og logaritmefunktionerne. Problemet er bare, at jeg aldrig helt har forstået, hvad logaritmefunktionerne er. I undervisning har vi arbejdet med 10-tals logaritmen, som nok er den jeg vil gå i dybden med. Men kan nogle sætte ord på/gør rede for hvad logaritmefunktionerne er? Jeg har prøvet at søge på nettet og kigge i mine bøger, men det er svært at forstå :) Tak

Brugbart svar (0)

Svar #1
11. juni 2015 af mathon

I det følgende kaldes en logaritmefunktion for $\lambda (x)$

$\lambda$ afbilleder $\mathbb{R}_+$ på $\mathbb{R}$

og
$\lambda (a\cdot b)=\lambda (a)+\lambda (a)$

$\lambda (g)=1$ hvor g er grundtallet

$\lambda (1)=0$

$\lambda{\, }' (x)=\frac{\lambda {\, }'(1)}{x}$

$\lambda ^{-1}(y)=g^y=x$ $\lambda ^{-1}$ afbilleder $\mathbb{R}$ på $\mathbb{R_+}$

Brugbart svar (0)

Svar #2
11. juni 2015 af mathon

specifikt for ln(x)

$\ln$ afbilleder $\mathbb{R}_+$ på $\mathbb{R}$

og
$\ln (a\cdot b)=\ln (a)+\ln (a)$

$\ln (e)=1$ hvor er grundtallet

$\ln (1)=0$

$\ln{ }' (x)=\frac{1}{x}$

$\ln ^{-1}(y)=e^y=x$ $\lambda ^{-1}$ afbilleder $\mathbb{R}$ på $\mathbb{R_+}$

Brugbart svar (0)

Svar #3
11. juni 2015 af mathon

specifikt for log(x)

$\log$ afbilleder $\mathbb{R}_+$ på $\mathbb{R}$

og
$\log (a\cdot b)=\log (a)+\log (a)$

$\log (10)=1$ hvor er grundtallet

$\log (1)=0$

$\log{ }' (x)=\frac{1}{\ln(10)}\cdot \frac{1}{x}$

$\log ^{-1}(y)=10^y=x$ $\lambda ^{-1}$ afbilleder $\mathbb{R}$ på $\mathbb{R_+}$

Brugbart svar (0)

Svar #4
11. juni 2015 af mathon

logaritmefunktioner er proportionale

$\lambda _2(x)=k\cdot \lambda _1(x)$

Brugbart svar (0)

Svar #5
11. juni 2015 af mathon

Bemærk:
$\lambda ^{-1}(y)={\log_{g}}^{-1}(y)=g^y$

omvendtfunktionen til $\log_g$ er eksponetialfunktionen med samme grundtal.

Brugbart svar (0)

Svar #6
11. juni 2015 af Eksperimentalfysikeren

En logarimefunktion er defineret som en funktion f, der opfylder: f(a*b) = f(a)+f(b),for a,b>0.

Ud fra denne funktionalligning kan man vise, at f(1) = 0. For hver logaritmefunktion findes der et tal g>0, så f(g) = 1. Dette tal kaldes logaritmens grundtal. De mest benyttede grundtal er 10, e og 2.

Den naturlige logaritme defineres som

$ln(a)=\int_{1}^{a}\frac{1}{x}dx$

Du bør komme ind på dette og vise, at ln opfylder funktionalligningen.

10-talslogaritmen log er ældre end ln. Derfor er der et bevis, der er ret vigtigt, nemlig beviset for at alle logaritmefunktioner er identiske bortset fra en skalafaktor.

Lidt om anvendelser.

ln og dens omvendte funktion exp optræder i forbindelse med differentialligninger. Da disse bruges meget i fysikken er der mange steder i fysikken, hvor ln og/eller exp benyttes.

Øret opfatter lydstyrker næsten logaritmisk. Tilsvarende opfatter øjet lysstyrker logaritmisk. For lyd har man vedtaget, at forskellen mellem to lydstyrker angives i dB (deciBell), som er 10 gange titalslogaritmen til forholdet mellem de fysiske lydintensiteter. Enheden er opkaldt eftr telefonens opfinder Graham Bell.

Titalslogaritmen har haft enorm betydning som hjælpemiddel til beregninger. Man har benyttet den til regnestokken, der i princippet er to linealer, hvor der er lavet skalaer, hvor logaritmen er afsat, men det er tallet selv, der er skrevet på skalaen. Ved at forskyde linealerne i forhold til hinanden kan man lægge logaritmerne sammen og derved gange tallene med hinanden. Regnestokken var tidligere symbolet på en ingeniør.

Totalslogaritmen benyttes i informationsteorien. Antallet af cifre, man skal bruge for at kunne lagre et tal er logaritmen til tallet. I computere benytter man totalssystemet, hvorfor totalslogaritmen benyttes her.

Svar #7
11. juni 2015 af chokoladecookie (Slettet)

Tak for svarene! Det er til stor hjælp :D

Brugbart svar (0)

Svar #8
11. juni 2015 af SuneChr

# 6
Angående regnestok.
Ja, - man husker jo tydeligt demonstrationsmodellen på 1 meter af mærket "Aristo Scholar", som hang på væggen i fysiklokalet. Regnestokken er slet ikke tosset, i fald der sker strømsvigt :)
Selv fik jeg anskaffet modellen 0903LL med eksponentialskalaer og sinusskala på tungen.
_________________
Også det logaritmiske papir bør nævnes.
Jordskælvs ødelæggende omfang måles også logaritmisk.

Brugbart svar (0)

Svar #9
11. juni 2015 af mathon

enkeltlogaritmisk papir til afbildning af
eksponentialfunktion:

$y=b\cdot a^x\; \; \; \; \; \; a,b\in \mathbb{R}_+$

$\log_{10}(y)=\log_{10}(b\cdot a^x)=\log_{10}(a^x\cdot b)$

$\log_{10}(y)=\log_{10}(a)\cdot x+\log_{10}(b)$

$Y=A\cdot x+B$ som er en lineær funktion

Skriv et svar til: Gør rede for logaritmefunktionerne

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.